Вероятность того, что теорема недоказуема по теореме Гёделя

[alhimikoff]

Может ли быть так, что нерешённые проблемы математики в принципе нельзя решить, и математики зря голову ломают?

[Anton_Peplov]

alhimikoff
А сформулируйте-ка теорему Гёделя (кстати, какую из? Гёдель доказал четыре великие теоремы). Чтобы было о чем разговаривать.

[Pavlovsky]

Проблемы математики которые в принципе нельзя решить называются аксиомами. Разве не так?

[Anton_Peplov]

Pavlovsky
Во-первых, аксиомами называются не "проблемы", а утверждения.

Во-вторых - да, если утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть в данной системе аксиом (и правил вывода), можно сделать его (или его отрицание) новой аксиомой, получив тем самым новую систему, более содержательную. Так в системе аксиом Цермело-Френкеля нельзя ни доказать, ни опровергнуть, что существуют множества мощности больше счетной, но меньше континуальной. Если это утверждение или его отрицание политическим решением назначить дополнительной аксиомой, получим новую теорию множеств.

Но трудность, собственно, в том, что у утверждения на лбу не написано, можно ли его доказать или опровергнуть. Когда было установлено, что для проблемы континуума это действительно так - это было великое достижение. Коэну, кажется, Филдса за это дали. А вон теорему Ферма сколько веков доказать не могли, но доказали же. А посчитали бы, допустим, недоказуемым утверждением да и приняли за аксиому, что она неверна. И получили бы противоречивую теорию. И бог весть, сколько бы в ней результатов наворотили, прежде чем вскрылось противоречие и выяснилось, что весь этот труд пошел псу под хвост. Вот такая петрушка, граждане.

[Pavlovsky]

Anton_Peplov в сообщении #1079120 писал(а):

Во-первых, аксиомами называются не "проблемы", а утверждения.

Это вы зря написали, а остальное верно. Проблема = Утверждение.

[arseniiv]

[Хотя Anton_Peplov уже ответил.]

Pavlovsky в сообщении #1079114 писал(а):

Проблемы математики которые в принципе нельзя решить называются аксиомами. Разве не так?

Конечно, не так. Аксиомами называются утверждения, которые можно вводить в доказательство «как захочется», а именно не с помощью правил вывода из каких-то других утверждений (можно для однородности аппарата представить, что каждой аксиоме соответствует своё правило вывода из нуля посылок). Какое утверждение какой теории поломало математикам головы, в определение аксиомы не входит.

[Pavlovsky]

arseniiv в сообщении #1079127 писал(а):

каждой аксиоме соответствует своё правило вывода из нуля посылок).

И кому такая теория нужна? Есть уже устоявшаяся, всеми принятая система аксиом. Зачем все ломать из за одного недоказанного утверждения?

[Brukvalub]

Pavlovsky в сообщении #1079130 писал(а):

Есть уже устоявшаяся, всеми принятая система аксиом. Зачем все ломать из за одного недоказанного утверждения?

Pavlovsky, где "Есть уже устоявшаяся, всеми принятая система аксиом"? В гастрономе продается?

-- Чт дек 03, 2015 20:46:36 --

alhimikoff в сообщении #1079111 писал(а):

Вероятность того, что теорема недоказуема по теореме Гёделя

Прежде, чем подсчитать эту вероятность, вам надлежит описАть соответствующее пространство элементарных исходов и задать на нем вероятностную меру. Вот с этого и начните.

[arseniiv]

Pavlovsky в сообщении #1079130 писал(а):

Есть уже устоявшаяся, всеми принятая система аксиом.

Система аксиом чего?

Pavlovsky в сообщении #1079130 писал(а):

И кому такая теория нужна?

Какая «такая»? Я никакую конкретную теорию не описывал. Я определил более-менее точно, как понимаются аксиомы, хотя надо ещё иметь представление и о выводе. Вывод — это конечная последовательность $a$ утверждений, каждое из которых либо является гипотезой или аксиомой, либо применением правила вывода к утверждениям, каждое из которых имеется в $a$ раньше данного. Можно упростить определение, введя специальные правила вывода, что я и написал выше, но это просто другой взгляд на то же самое. Да, для совсем полного порядка стоит посоветовать учебник матлогики, конечно…

[alhimikoff]

Brukvalub в сообщении #1079161 писал(а):

Прежде, чем подсчитать эту вероятность, вам надлежит описАть соответствующее пространство элементарных исходов и задать на нем вероятностную меру. Вот с этого и начните.

Вводят же вероятность того, что программа остановится:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... 0%BD%D0%B0

[Brukvalub]

alhimikoff в сообщении #1079213 писал(а):

Вводят же вероятность того, что программа остановится:

Я не спрашивал вас про то, как вводят "вероятность того, что программа остановится".
Вы спросили в заголовке про "Вероятность того, что теорема недоказуема по теореме Гёделя".
Вот я и предложил вам разъяснить непонятный мне смысл вашего вопроса: описать точно вероятностное пространство и вероятностную меру на нем. Не уклоняйтесь от вопроса посторонними ссылками, а ответьте на поставленный мной вопрос.

[Red_Herring]

Цитата:

Оказывается, Карл Маркс, Фридрих Энгельс не четыре человека, а два, а " Слава КПСС" - вообще не человек."

Вот и "недоказуемая теорема" вообще не теорема, а проблема это не утверждение.

Примеры проблем: "Доказать некоторое утверждение" или "Проверить, является некоторое утверждение истинным или ложным".

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: ничего дискуссионного: флуд и помощь ТС разобраться с понятиями

[alhimikoff]

Brukvalub в сообщении #1079220 писал(а):

Вот я и предложил вам разъяснить непонятный мне смысл вашего вопроса: описать точно вероятностное пространство и вероятностную меру на нем. Не уклоняйтесь от вопроса посторонними ссылками, а ответьте на поставленный мной вопрос.

Рассмотрим все утверждения длины n, записанные двоичными строками. Некоторые из них доказуемы, некоторые нет. Число недоказуемых поделенное на $2^n$ даст вероятность для длины n. Сумма этих вероятностей по всем n от 0 до бесконечности даст искомую вероятность.

[NSKuber]

alhimikoff в сообщении #1079335 писал(а):

Сумма этих вероятностей по всем n от 0 до бесконечности даст искомую вероятность.

Которая может быть больше единицы, а то и вовсе бесконечной.