Темы курсов и факультативов по математике в спец.школе

[eugrita]

Исходя из своего опыта и обзора современных задач по математики и информатики в тч и олимпиадных
хочу предложить ряд тем-расширений стандартного курса школьной математики и информатики.
перечень ниже возник из обобщения опыта уже существующих для школьников задач олимпиадного уровня.
Я учитываю реалии современной школы- нехватку часов, преподавателей и потому это предложение -добровольное. В перечень ниже вошли и темы в настоящие время относимые к математической информатике (прежде всего -логика, теория графов). Уровень изложение этих вопросов в школе - элементарный, популярный
Программа дополнительных вопросов-курсов
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Алгебра, теория чисел.
-----------------------------
Мультипликативная группа целых чисел. Группа классов вычетов как фактор группа.
Конечная группа - группа подстановок .
Поля Галуа GF(n) при n=3 n=4 Кольцо $a+b \cdot \sqrt{n}$
Понятие о комплексных числах. Комплексная функция как отображение плоскости в себя
Алгоритм Евклида (стандартн и расширенный)
Понятия о кодировании многочленов. Линейные и циклические коды

Геометрия
----------------------------------
Элементы алгебраической геометрии - рациональные кривые.
Кривые 2 порядка -эллипс, гипербола парабола , свойства. Конические сечения
Композиция отображений на примере движений, поворотов, гомотетий. Инверсия.
Выпуклая оболочка. Отношения "пересечение 2 отрезков", "внутри многоугольника, круга"
Простейшие оптимизационные задачи геометрии - оптимальное расположение точек в квадрате, круге
Точки Торичелли, минимум суммы обратных расстояний (физические применения)
Сферический треугольник. Понятие о проективной геометрии

Элементы матанализа, теории функций, теории множеств
------------------------------------------------------------------------
1. Отображение множеств, типы. Понятие о сжимающем отображении,
Функция как частный случай отображения. Алгоритмический способ задания функции
Изоморфизм. Изоморфизм графов
2. Рекуррентные (возвратные) последовательности.
Вывод простейших формул квадратично-нелинейных рекуррентных последовательностей, ряда Фибоначчи
Цепные дроби и рекуррентные последовательности
Представление об индуктивных функциях и расширениях
3.Понятие о методе итераций в решении нелинейных уравнений и связь с рекуррентными последовательностями.
Условие Липшица как сходимость итерационной последовательности

Дискретная математика
---------------------------------
1.Теория графов.
Определения: граф, дерево, двудольный граф. Преставление простейших игр в виде дерева.
Выигрышная и проигрышная позиции. Степень связности графа (интуитивно)
Хроматическое число, пути. Задача Эйлера
2. Логика.
Метод математической индукции. Принцип Дирихле (на примерах задач)
Булева алгебра, диаграммы Венна, табл истинности. Понятие о предикате.
Способы решения систем логических уравнений
3.Отношения.
Бинарные отношения, графическое представление. Примеры - отношение делимости
Свойства рефлексивность, симметричность, транзитивность
Отношения частичного порядка. Свойства рефлексивность антисимметричность, транзитивность
Отношения на конечных множествах. Характеристики ЧУМ - длина,ширина. Цепь и антицепь.
Применение к реляционной теории и ООП : предикат отношения. Фрейм. Диаграмма Хассе.

Теория вероятностей. Комбинаторика
----------------------------------------------
сочетания размещения, перестановки (с повторением и без) - формулы, задачи
Разбиения множеств на подмножества (задачи)
Элементы нечеткой логики. Понятие о функции принадлежности на примерах

[Munin]

eugrita в сообщении #1078713 писал(а):

хочу предложить ряд тем-расширений стандартного курса школьной математики и информатики.

Достаточно было бы для начала вернуть их в пределы советской школьной программы. А то у вас даже комплексных чисел нет...

[eugrita]

Согласен, тут много упущений. Подкорректирую пока не пропала возможность редактирования

[arseniiv]

eugrita в сообщении #1078713 писал(а):

диаграммы Венна

Их разве не слишком много вокруг, чтобы им ещё и учить?

eugrita в сообщении #1078713 писал(а):

Понятие о предикате.

Надеюсь, о в общем случае многоместном? Одноместные предикаты ничем не увлекательнее подмножеств множества.

-- Ср дек 02, 2015 01:49:24 --

(Оффтоп)

Вообще хорошо, чтобы курс был устроен аккуратно, чтобы по сто раз не повторялись одинаковые математические идеи. Списком тем это никак не указать, так что здесь это оффтоп, но кажется нужным сказать всё равно. А то вот так будут какие-нибудь одноместные предикаты (раз уж я о них упомянул; пример неплохой), и какой с них толк кроме замусоривания пространства имён? А когда-нибудь потом люди велико удивятся, что есть ещё и двуместные и т. п..

[eugrita]

Цитата:

диаграммы Венна, Их разве не слишком много вокруг, чтобы им ещё и учить?

думаю не слишком много - хотя и входят теперь в базовый учебник информатики - но учащиеся еле ориентируются.
Иначе студенты не приставали бы с вопросами показать графических иллюстраций теми же диаграммами
каких-то булевых выражений

[Pphantom]

Честно говоря, на первый взгляд это похоже на этакую сборную солянку - попытку понадкусывать разные разделы математики без какой-то определенной цели. Вернее, одна цель - "олимпиадная математика" - пожалуй, действительно просматривается, но как-то нехорошо ориентироваться на такие цели...

[eugrita]

Пропустил
----------------------------------
Элементы матанализа
пункт1 Инволюция (примеры)
Геометрия.
Раздел векторы
Понятия о базисе. Решение простых примеров выражения вектора через базис в $R^2$ (без
применения матриц)
фрактал на плоскости и геометрическая прогрессия.
множество Кантора. Снежинка Коха, треугольник и ковер Серпинского , губка Мегнера.Кривая Пеано
Теория вероятностей- комбинаторика
формула Энтропии для неравновероятных событий. Разбор примеров задач

[Lia]

Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Поправьте цитирование. post1078729.html#p1078729

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Вопросы преподавания»

[eugrita]

arseniiv в сообщении #1078724 писал(а):

Надеюсь, о в общем случае многоместном? Одноместные предикаты ничем не увлекательнее подмножеств множества.

Ну вот вам и карты в руки. Разверните это. Только очень лаконично перечислением самого главного в пределах 1-2 строк текста

[Xaositect]

eugrita в сообщении #1078757 писал(а):

Ну вот вам и карты в руки. Разверните это. Только очень лаконично перечислением самого главного в пределах 1-2 строк текста

"Разверните" и "в пределах 1-2 строк" это противоречивые требования.

[Brukvalub]

eugrita, поясните, пожалуйста, по каким принципам вы отбирали эти темы? Например, почему элементы сферической геометрии изучать полезно, а гиперболическую геометрию изучать не полезно?
Другой пример: почему теорию графов изучать стОит, а знакомиться с машиной Тьюринга - вредно?
Или, вот: предлагается, не изучив теорию меры не умея интегрировать, не зная функана, учить теорию вероятностей. Это как?

[мат-ламер]

Brukvalub в сообщении #1078849 писал(а):

Или, вот: предлагается, не изучив теорию меры не умея интегрировать, не зная функана, учить теорию вероятностей. Это как?

Для начала можно предполагать, что вероятностное пространство конечное или счётное (в духе первого тома Феллера).

-- Ср дек 02, 2015 20:56:08 --

Brukvalub в сообщении #1078849 писал(а):

Другой пример: почему теорию графов изучать стОит, а знакомиться с машиной Тьюринга - вредно?

У теории графов приложений по-более.

-- Ср дек 02, 2015 21:18:30 --

eugrita в сообщении #1078713 писал(а):

1. Отображение множеств, типы.

Что-то я слышал про теорию типов в теории множеств. Но, по-моему, это сильно специально.

-- Ср дек 02, 2015 21:22:00 --

eugrita в сообщении #1078713 писал(а):

Комплексная функция как отображение плоскости в себя

Имеется в виду аналитическая функция? Интересно рассмотреть простейшие аналитические функции - синус, косинус, экспонента и т.д. И связи между ними.

-- Ср дек 02, 2015 21:26:39 --

eugrita в сообщении #1078713 писал(а):

Элементы алгебраической геометрии - рациональные кривые.

И рациональные точки на кривых. Простые диофантовы уравнения (Пелля, например).

[arseniiv]

eugrita в сообщении #1078757 писал(а):

Ну вот вам и карты в руки. Разверните это. Только очень лаконично перечислением самого главного в пределах 1-2 строк текста

Для списка тем? Тогда разворачивать не надо: просто «предикаты». Ну, раз уж они понадобились здесь — своих планов на такие курсы у меня нет.

(Оффтоп)

eugrita в сообщении #1078747 писал(а):

губка Мегнера

Всё же Менгера.

[eugrita]

Xaositect в сообщении #1078767 писал(а):

eugrita в сообщении #1078757 писал(а):

Ну вот вам и карты в руки. Разверните это. Только очень лаконично перечислением самого главного в пределах 1-2 строк текста

"Разверните" и "в пределах 1-2 строк" это противоречивые требования.

Я не думаю что надо утомлять читателей видом программ курсов как это делается в ВУЗах, развернутым описанием тем, вопросов, да еще с почасовкой, со списком экз вопросов. Это утомительно. Кто понимает о чем речь -и так поймет. Остальным - по фигу. Лучше всего перечисление математических понятий характерных для той или иной темы - это коротко и наглядно. (не забываем, что имеем дело с детьми - часто не надо строгой логики, доказательства теорем. научно-популярное изложение, приоритет-наглядности). Помню был такой Б.И.Малютин. Его стиль для спортсменов физфака - рисование дерева с пифагоровыми штанами и еще кое-какими формулами. Меня неоднократно учили, что научный сотрудник при выступлении или телеф разговоре должен сжато и понятно изложить квинтэссенцию мысли за время до 1 мин

-- Чт дек 03, 2015 04:51:57 --

Brukvalub в сообщении #1078849 писал(а):

eugrita, поясните, пожалуйста, по каким принципам вы отбирали эти темы? Например, почему элементы сферической геометрии изучать полезно, а гиперболическую геометрию изучать не полезно?
Другой пример: почему теорию графов изучать стОит, а знакомиться с машиной Тьюринга - вредно?
Или, вот: предлагается, не изучив теорию меры не умея интегрировать, не зная функана, учить теорию вероятностей. Это как?

Я видимо недостаточно подготовился к изложению программы. Моя главная цель -привлечь внимание к таким вопросам
и темам математики которые в принципе возможно изложить школьникам. (т.е. не использующими громоздкого матем аппарата изучаемого в ВУЗах. Лучше всего без интегралов и без производных. Я выложил все то что у меня под рукой находилась в "активном для преподавания" запасе. Не сомневаюсь - много пропустил. Пожалуйста - добавляйте, исправляйте. Только не забывайте главного это должно быть доступно и понятно школьникам и не слишком отвлекать от сдачи ЕГ (в том виде что там напихали)
Машина Тьюринга - из этой серии - элементарно пропустил, а материалы есть (правда не распечатаны)
Согласен что строгое изложение теории вероятностей основано на мере. Но факт есть факт - теор.вер. ввели в школу формально чуть ли не с 6 кл. Надо яркие задачи с условиями близкими современным детям, разбор их решений. И все по-моему