Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[Свободный Художник]

Попробуйте почитать "Установления гармонии" Царлино без купюр. Вы обнаружите, что этот "Князь Музыки" "отжалел" целых два тома (первых) своего фундаментального труда на арифметику с геометрией. Ни одного слова про "частотные стимулы", "обертоны" и пр. там нет. А вот его арифметика с геометрией очень хорошо укладывется в то, что на популярном уровне описано у Стюарта:
http://www.px-pict.com/9/6/6/6/6/2.html
И рис. 46 очень хорошо соотносится с рисунком, приведенным у Царлино:

Свободный Художник в сообщении #1070886 писал(а):

Вы же сами нашли страницу с переводом на английский выдержек из "Установлений гармонии" Царлино:
http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx
Прочитайте самую первую приведенную там выдержку. Ведь отрезки прямых на евклидовой плоскости, используемые там для моделирования струн, не вибрируют. Это может означать только лишь одно. От вибраций в приведенных там рассуждениях отвлекаются (абстрагируются), для того, чтобы сосредоточиться на чем-то более существенном, что скрыто за вибрациями струн.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1071463 писал(а):

целых два тома (первых) своего фундаментального труда на арифметику с геометрией.

И что ему было ещё делать без представлений о логарифмах и законе Вебера-Фехнера, которые он из-за исследований звуковысотных явлений всё же вынужден был косвенно задействовать через геометрию и арифметику?

Нам-то зачем кнопки логарифмирования/экспонирования в калькуляторе заклеивать?

Птолемей, вон, ухитрился состряпать даже строение солнечной системы, не представляя её в предложенном Коперником виде. Потребляют теперь, таки, не геоцентрические пирожки. А сколько попы́ хороших мыслей (и людей) погубили, пока имели право пичкать народ этой кривобокой птолемеевой стряпнёй?

[Свободный Художник]

Я считаю, что Царлино не задействовал закона Вебера-Фехнера даже косвенно. И что в бОльшей степени он задействовал построения с циркулем и линейкой.

Свободный Художник в сообщении #1022546 писал(а):

С интересом читаю статьи на сайте, который Вы раскопали:
http://barocpraxis.arts.spbu.ru/Tempera ... r=temper-4

У меня к Вам маленький вопрос. По указанной ссылке есть фраза в "XXIV. Гл. В которой сравнивается неправильная темперация с фальшивым христианством". Такая фраза в самом начале указанной Главы: "... но таковым является извечное заблуждение, которое можно со всей определенностью доказать с циркулем на монокорде."
Быть может, Вы знаете. Как конкретно проводились доказательства "с циркулем на монохорде"? Что это означало на практике?

-- Пн июн 01, 2015 23:41:50 --

Возможно, что о чем-то подобном (имевшим место быть на практике) пишет Уибберли в пункте [ 5 ] своей статьи:
"Having measured on his monochord the position of E lowered by two major semitones, Spataro was able correctly to observe that the resulting pitch was lower than D by a Pythagorean comma":
http://www.mtosmt.org/issues/mto.04.10. ... rley1.html

А также он задействовал некоторые конические сечения. Обычно возникновение этих последних не связывают каким-то образом с законом Вебера-Фехнера:
http://www.px-pict.com/7/3/1/15/1/1/4/15.html

-- Ср ноя 11, 2015 22:54:52 --

О делийской задаче, приведшей к возникновению в математике таких конструкций, как конические сечения, Царлино как раз-то упоминает во втором отрывке с найденной Вами страницы:
The other method of dividing the consonances, in two, or in so many parts one wants, being equal, is not only beautiful: but also more useful then the preceding, for being more universal; and it was discovered by Eratosthenes, when he found the duplication of the cube, at the time when the Dalij (as Johannes Philoponus [Giovanni Grammatico] narrates) were troubled by the plague; the same invention, together with many others, Giorgio Valla from Piacenza put in the "Fourth book of the Geometry", teaching how to find two middle lines between the given two.
http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1072443 писал(а):

Я считаю, что Царлино не задействовал закона Вебера-Фехнера даже косвенно.

И что же Царлино (как и все прочие исследователи звуковысотностей довеберофехнеровых времён) измерял циркулями и линейками, если не простейшие приборы для генерации звуков, стимулирующих высотные ощущения?

Исследователи получали от им доступных звукогенераторов ощущения высот, а ощущения прямо измерить нельзя, но можно сравнивать, распознавать и косвенно упорядочить через непосредственные измерения на звукогенераторах.

Измеряли стимулы, другими словами, а сравнивали ощущения...

Вы можете, конечно, отвлекаться от психоакустики, а я не буду: очень высокие и очень низкие звуковысотности перестают подчиняться циркулям, но если верить линейкам, то и по краям области существования высотных ощущений должно быть всё так же, как в середине, чего на деле нет.

Отвлекусь лучше от циркульного масонства, которое для MIDI моделирования не кажется столь же необходимым, как линеечки нотных станов. Царлино тоже монохорды подальше убрал, когда занялся пятилинейным нотным письмом во второй половине упомянутой Вами книги.

[Свободный Художник]

Глянул я на один из таких приборов:
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/7/5/3.html
По наводке Царлино:

Свободный Художник в сообщении #1072443 писал(а):

О делийской задаче, приведшей к возникновению в математике таких конструкций, как конические сечения, Царлино как раз-то упоминает во втором отрывке с найденной Вами страницы:
The other method of dividing the consonances, in two, or in so many parts one wants, being equal, is not only beautiful: but also more useful then the preceding, for being more universal; and it was discovered by Eratosthenes, when he found the duplication of the cube, at the time when the Dalij (as Johannes Philoponus [Giovanni Grammatico] narrates) were troubled by the plague; the same invention, together with many others, Giorgio Valla from Piacenza put in the "Fourth book of the Geometry", teaching how to find two middle lines between the given two.
http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx

И как-то трудно мне поверить, что создание этого прибора направлялось (пусть даже и косвенным образом) псхоакустическим законом Вебера-Фехнера или обертонально-унтертональными теориями Римана.

-- Чт ноя 12, 2015 23:44:44 --

commator в сообщении #1072573 писал(а):

Отвлекусь лучше от циркульного масонства, которое для MIDI моделирования не кажется столь же необходимым, как линеечки нотных станов. Царлино тоже монохорды подальше убрал, когда занялся пятилинейным нотным письмом во второй половине упомянутой Вами книги.

Нетрудно почитать, о чем пишет Царлино в четвертом, заключительном томе своего сочинения. В параграфе под симптоматичным названием: "Что должен знать тот, кто хочет достичь совершенства в музыке":
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/4/35.html
Об арифметике и геометрии он пишет, о построениях с циркулем и линейкой тоже пишет; о пятилинейной нотной нотации как-то не заметно, чтобы писал.

-- Чт ноя 12, 2015 23:52:43 --

Для MIDI моделирования кажется важной логарифмическая зависимость, как следует, например, из статьи д-ра Уибберли:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/2/1/1.html
(пункт 15 на указанной странице)
А эта зависимость может быть определена с помощью указанных Царлино приборов.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1072806 писал(а):

трудно мне поверить, что создание этого прибора направлялось (пусть даже и косвенным образом) псхоакустическим законом Вебера-Фехнера или обертонально-унтертональными теориями Римана.

Царлино упомянул ему известный древний измерительный прибор потому, что поведение прибора в области существования звуковых стимулов верно отображалось на результаты деятельности слуховой системы в области существования высотных ощущений ― слух Царлино был таким же логарифмически-нелинейным как и в наши времена, т. е. подчинялся закону Вебера-Фехнера, пусть ещё так и не названному.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1072806 писал(а):

о пятилинейной нотной нотации как-то не заметно, чтобы писал

В школьные годы много пишут на разлинованой бумаге, но мне, например, ни разу не приходила тогда мысль написать о происхождении и системах бумажной разлиновки.

Теперь система разлиновки привычной нам нотной бумаги заставляет меня много о ней думать, поскольку неплохо отображает существовение в слуховом анализаторе критических полос.

-- 14.11.2015, 11:17 --

Свободный Художник в сообщении #1072806 писал(а):

Для MIDI моделирования кажется важной логарифмическая зависимость, как следует, например, из статьи д-ра Уибберли: http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/2/1/1.html
(пункт 15 на указанной странице)
А эта зависимость может быть определена с помощью указанных Царлино приборов.

Для MIDI моделирования всегда пользовался калькуляторами и компьютерами; счётами и указанными Царлино приборами — никогда.

Самый древний прибор, которым я пользовался во времена, когда калькуляторы были дорогими, а компьютеры занимали огромные залы, куда не всех пускали, был арифмометр.

[Свободный Художник]

Неужели Вам никогда не хотелось разобраться, как все это "тикает"? Например, почитать на досуге что-нибудь из Джона Непера:
http://reader.digitale-sammlungen.de/en ... 00011.html
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0 ... 0%BE%D0%BD

Вы бы обнаружили, что упомянутый древний прибор создал благодатную почву, на которой могло бы осуществиться "изобретение логарифмов". Его аналог есть и у Декарта, написавшего, кстати говоря, целый трактат по музыкальной теории.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1074130 писал(а):

Неужели Вам никогда не хотелось разобраться, как все это "тикает"?

Разобраться как всё, что музыке надо, тикает — жизни не хватит; разбираюсь как тикает музыка в области ощущений...

О чтении...

Как говаривала когда-то толковая молодёжь в отделе программирования, где я числился главным: если долго не получается, прочтите инструкцию, наконец.

У меня другая тактика: читаю когда получается. Всегда хочется разобраться, что именно получилось после моих упражнений.

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1074130 писал(а):

Вы бы обнаружили, что упомянутый древний прибор создал благодатную почву, на которой могло бы осуществиться "изобретение логарифмов". Его аналог есть и у Декарта, написавшего, кстати говоря, целый трактат по музыкальной теории.

R. Descartes. Musicae Compendium. Опубликован в третьем латинском издании его "Геометрии":
http://www.px-pict.com/9/6/5/1/2/01.html
В недавно вышедшей книге этот трактат Декарта характеризуется следующим образом:
René Descartes s Compendium musicæ was one of the most widely-read texts on the mathematics of music in the second half of the seventeenth century, offering a succinct and lucid summary of its subject. It was translated into English, French and Dutch before the end of the century - though its idiosyncratic geometrical approach to music drew criticism as well as praise - and its sophisticated mathematical thinking attracted a number of later scholars to explore its ideas further in print or manuscript. This volume presents for the first time a critical edition of the English translation of the Compendium, published in 1653 by the natural philosopher Walter Charleton. Also included are the unpublished manuscript treatises written by Nicolaus Mercator and Isaac Newton developing similar ideas to those in the Compendium, and the printed remarks of William Brouncker which appeared with Charleton's translation. This rich collection of texts, most of them appearing in critical editions for the first time, provides a unique view of the early reception of Descartes s musical treatise in England.
http://www.amazon.com/The-Compendium-Mu ... 2503548989

-- Вт ноя 17, 2015 23:48:34 --

По-видимому, определенные положения именно из этого трактата Декарта стали основой для построений Рамо:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14/1/1.html
(страница из книги Л. Шевалье, на которую Вы уже ссылались)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1074419 писал(а):

По-видимому, определенные положения именно из этого трактата Декарта стали основой для построений Рамо: http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14/1/1.html
(страница из книги Л. Шевалье, на которую Вы уже ссылались)

Хороший абзац Вы оттуда вырезали:



Сонантометрия тем хороша, что не даёт забывать о представлении чисел в области высотных ощущений.

Например, есть две пары натуральных чисел в сравнении рационалов:

$2187/1024 < 5/7.$

Если сие отобразить на высотные ощущения сонантометрически, то возникает почти тождество:

$:7D[2187/1024]10t \approxeq ~:M[5/7]q,$

бесспорно доказывающее право неощутимо для среднеразвитого слуха менять громоздкий пифагорейский 7-й доминант 10го субтонанта на легче воспринимаемый архитейский медиант субквартанта.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1072443 писал(а):

А также он задействовал некоторые конические сечения. Обычно возникновение этих последних не связывают каким-то образом с законом Вебера-Фехнера: http://www.px-pict.com/7/3/1/15/1/1/4/15.html

Ну как же не связывают, если Вы же и налегаете на мысли о музыкальном происхождении математики?

А физика превращается в музыку из-за закона Вебера-Фехнера.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1074419 писал(а):

из книги Л. Шевалье, на которую Вы уже ссылались

Ещё один хороший фрагмент:




Кое-что с этим связанное ранее было затронуто:

commator в сообщении #1007379 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1006574 писал(а):

... останется только вычислять, не заботясь о том, что представляют собой числа.
Шевалье Л. История учений о гармонии.
Пер. с франц., М., 1931, сc. 45 — 46.
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/14/1/1.html

В этой книжке обнаружилось следующее:

Шевалье 1925(1932) писал(а):

Великий Лейбниц", говорит Эйлер, "утверждает, что музыкант считает лишь до 5; но если моё предположение основательно, можно сказать, что в композиции считают до 7

Подтверждение доступно:

Эйлер 1766 писал(а):

великий Лейбниц уже заметил, что музыка еще не научилась считать более 5; что также, несомненно, верно в инструментах предоставленных в соответствии с принципами гармонии. Но если мое предположение верно, мы можем сказать, что в композиции счёт уже имеется до 7

(Фраенцузский)

le grand Leibnitz a déjà remarqué que dans la Mufique on n'a pas encore appris à compter au delà de 5; ce qui eft auffi inconteftablement vrai dans les Inftrumens accordés felon les principes de l'harmonie. Mais, fi ma conjecture a lieu, on peut dire que dans la compofition on compte déjà jusqu'a 7

Наблюдается момент зарождения внимания к тому, что сегодня называется пределы чистой интонации и Эйлер, развивая подмеченное Лейбницем, явно указывает на высокую вероятность выхода музыкального мышления за пределы чистой интонации, допустимые на существующих для текущего момента инструментах.

commator в сообщении #1018090 писал(а):

commator в сообщении #1007379 писал(а):

Очень полезно 16-й вывод Леонарда Павловича дочитать до конца:

Эйлер 1766 по Скарамазза писал(а):

Это новый жанр музыки, что уже начался, и таковой был неизвестен древним. В этом жанре, аккорд 4, 5, 6, 7, есть наиболее полная гармония, так как она содержит числа 2, 3, 5 и 7. Но он также более сложный, чем идеальный аккорд в распространенном жанре, который только содержит числа 2, 3 и 5. Если он безупречный в композиции, мы могли бы попытаться подвести инструменты к тому же уровню.

(Английский)

This is a new genre of music that has already begun and that was unknown to the ancients. In this genre, the chord 4, 5, 6, 7, is the most complete harmony, since it contains the numbers 2, 3, 5, and 7. But it is also more complicated than the perfect chord in the common genre that only contains the number 2, 3 and 5. If it is perfect in composition, we might try to hold the instruments to the same level.

commator в сообщении #1007468 писал(а):

commator в сообщении #1007379 писал(а):

Эйлер 1766 писал(а):

великий Лейбниц уже заметил, что музыка еще не научилась считать более 5; что также, несомненно, верно в инструментах предоставленных в соответствии с принципами гармонии. Но если мое предположение верно, мы можем сказать, что в композиции счёт уже имеется до 7

(Французский)

le grand Leibnitz a déjà remarqué que dans la Mufique on n'a pas encore appris à compter au delà de 5; ce qui eft auffi inconteftablement vrai dans les Inftrumens accordés felon les principes de l'harmonie. Mais, fi ma conjecture a lieu, on peut dire que dans la compofition on compte déjà jusqu'a 7

Нельзя пройти мимо таблицы деления октавы от современных индийских исследователей:

Datta & Others 2006 писал(а):

В нынешней Индии не отказывают музыкальной мысли в способности считать до 23-х, поскольку это наибольшее простое число, встречающееся в столбце Ratio.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1074460 писал(а):

Хороший абзац Вы оттуда вырезали:

Недалеко от этого места Шевалье приводит формулы, которыми пользовался Рамо. Не могли бы Вы выложить это место из Шевалье (моя копия этой книги куда-то потерялась). Особенно интересует использование у Рамо операций арифметического и гармонического средних и как оно соотносится с использованием этих операций у Глареана и Царлино:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/4/00.html
(в конце указанной страницы)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1077401 писал(а):

Шевалье приводит формулы, которыми пользовался Рамо. Не могли бы Вы выложить это место из Шевалье (моя копия этой книги куда-то потерялась).

Эти вычисления?




Есть где и всю книжку взять: http://www.kholopov.ru/arc/chevalier.pdf