Получить дискретное распределение из непрерывного.

[B@R5uk]

Помогите, пожалуйста, решить такую задачу:

На прямой $x$ случайным образом расположены точки. Расстояние между двумя соседними подчиняются распределению $\varphi(x)$. Необходимо найти распределение $\rho(n)$, которому подчиняется число точек, попавшее на отрезок с фиксированной длиной $L$, случайным образом выбранный на этой прямой.

Не представляю даже с какой стороны подступиться к этой задаче. Из каких соображений её можно решить?

[arseniiv]

1. Расстояния между соседними точками одинаковы или могут быть разные?
2. Составители должны бы знать, что равномерного распределения на всей прямой не существует, так что, наверное, они имели в виду предел для распределений точек на всё более длинных отрезках.

[B@R5uk]

arseniiv, на первый ваш вопрос ответ прост: расстояние случайно и подчиняется распределению $\varphi(x)$. Второе ваше утверждение не понял.

Есть широко известный частный случай "решения" этой задачи, а именно пара экспоненциальное распределение — распределение Пуассона:

$$\[\begin{align} & \varphi \left( x \right)=\left\{ \begin{array}{{35}{l}} \lambda \exp \left( -\lambda x \right), & x\ge 0 \\ 0, & x<0 \\ \end{array} \right. \\ & \rho \left( n \right)=\frac{{{\lambda }^{n}}}{n!}{{e}^{-\lambda }} \\ \end{align}\] $$

В предложенном вами случае, когда случайные точки на прямой располагаются на равных расстояниях, то есть когда распределение расстояний между ними имеет вид дельта-функции:

$$\[\varphi \left( x \right)=\delta \left( x-{{x}_{0}} \right)\]$$

тоже легко найти распределение числа точек на случайном отрезке. Это может быть только два числа с разным отношением вероятностей, зависящих от отношения чисел $L$ и $x_0$

[arseniiv]

B@R5uk в сообщении #1077278 писал(а):

на первый ваш вопрос ответ прост: расстояние случайно и подчиняется распределению $\varphi(x)$.

Это я понял из первого поста. Но распределение всего счётного множества точек может быть разным: соседние могут с быть расположены на одинаковых расстояниях друг от друга с расстоянием, распределённым по $\varphi$. Описание можно понять и так, потому и вопрос. Если всё так, тогда всё просто $\Prob\{\text{на отрезке }m < n\text{ точек}\} = \Prob\{(n-1)(\text{расстояние между ними}) > L\}$.

B@R5uk в сообщении #1077278 писал(а):

Второе ваше утверждение не понял.

Вы же знаете, что равномерно раскидать точку — а отрезок данной длины здесь ничем не хуже и задаётся, скажем, центром — по плоскости нельзя. Значит, авторы имели в виду что-то не такое простое. Часто можно взять ответом предел какой-то последовательности величин, полученных для прямой, заменённой отрезками всё увеличивающейся длины. На таких отрезках интересующий нас отрезок можно кидать с равномерным распределением. Или может быть ещё какое-нибудь понимание, если это не приводит к ответу, кажущемуся правильным.

B@R5uk в сообщении #1077278 писал(а):

В предложенном вами случае, когда случайные точки на прямой располагаются на равных расстояниях, то есть когда распределение расстояний между ними имеет вид дельта-функции:

$$\[\varphi \left( x \right)=\delta \left( x-{{x}_{0}} \right)\]$$

Стоп-стоп-стоп, я имел в виду случайные равные расстояния.

-- Сб ноя 28, 2015 01:52:30 --

arseniiv в сообщении #1077510 писал(а):

Если всё так, тогда всё просто $\Prob\{\text{на отрезке }m < n\text{ точек}\} = \Prob\{(n-1)(\text{расстояние между ними}) > L\}$.

Иначе, конечно, если $\xi_1,\ldots$ — координаты точек, идущих друг за другом, первая из которых — самая левая из попавших в отрезок (случайные величины), то

$$\Prob\{\text{на отрезке }m < n\text{ точек}\} = \Prob\{\xi_n > L\}.$$

Предположив расстояния $\varphi_i$ между соседними точками независимыми в совокупности и одинаково распределёнными, можно получить $\xi_n = \xi_1 + \varphi_1 + \ldots + \varphi_{n-1}$, и от $\xi_1$ надо как-нибудь избавиться, предположив, например, (довольно неестественно) что она попадает ровно в начало отрезка (если не кидать наш отрезок на больший, в котором, можно надеяться, такой выбор $\xi_1 = 0$ более оправдан — но тогда и считать больше). Тогда останется одна математика, хотя не знаю, в случае каких распределений $\varphi_i$ ответ будет выразим устраивающим образом.