Сходимость ряда

[soulstealer]

Здравствуйте, можете посмотреть, правильно ли я определил сходимость рядов
I ряд:

$$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n \sqrt{\ln^2n+1}}$$

1)Я рассмотрел ряд из модулей через интегральный признак Коши, интеграл разошелся
2) а) $\lim\limits_{n\to\infty}^{}a_n=0$
б) Нашел производную функции: $f'(x)=(\frac{1}{x \sqrt{\ln^2x+1}})'$ Она оказалась отрицательной, следовательно из этих трех пунктов ряд условно сходится.

II ряд:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...\cdot(3n-2)}{3^n}$$

1) Рассмотрел ряд из модулей по признаку Д'Аламбера, предел получился равен $\infty$
2) а) $\lim\limits_{n\to\infty}^{}a_n=0$
б)Так же нашел производную и также она отрицательно, следовательно я сделал вывод что ряд условно сходится.

[Otta]

1, 2 ) Что такое условно расходится и почему оно следует из отрицательности производной?

3) Как Вы исхитрились искать производную для второго ряда?

4) что нужно было сделать?

[soulstealer]

Otta
Условно сходится, я опечатался.
По признаку Лейбница, что бы ряд сходился, должно выполняться два условия:
1) Должно выполняться необходимое условие сходимости: $\lim\limits_{n\to\infty}^{}a_n=0$
2) Члены ряда должны убывать. Если взять производную, от функции, то знак производной будет показывать убывает или возрастает функция.
3) $1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...$ Просто константа же?
4) Нужно было показать, сходится или расходится ряд

Насчет третьего пункта для второго ряда у меня большие сомнения..

[Otta]

soulstealer в сообщении #1076448 писал(а):

$1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...$ Просто константа же?

И от $n$ не зависит, да. И знаменателя там нет, да. А ну-ка покажите Вашего Даламбера, интересно.

[soulstealer]

Я кажется нашёл у себя ошибку во втором номере. При рассмотрении признака Лейбница, предел $a_n$ Стремится к бесконечности, а не к нулю, т.к. Факториал(я так понял, то что стоит в числителе можно преобразовать в $(3n-2)!$) возрастает намного быстрей чем показательная функция, следовательно не выполняется необходимое условие сходимости и ряд расходится.

[soulstealer]

Otta в сообщении #1076455 писал(а):

А ну-ка покажите Вашего Даламбера, интересно.

$$a_n=\frac{1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...\cdot(3n-2)}{3^n}$$

$$a_{n+1}=\frac{1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...\cdot(3n-2)(3(n+1)-2)}{3^{n+1}}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}^{} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}^{} \frac{1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...\cdot(3n-2)(3n+1)3^n}{ 1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...\cdot(3n-2)3^{n+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}^{} \frac{3n+1}{3}=\infty$$

[soulstealer]

Или не так?

[Otta]

Так. Только это не обозначают буквой $a_n$. Обычно. Ну и делают вывод, раз уж. Без вывода - зачем оно?

[soulstealer]

А еще вопрос: выражение, вида $1\cdot4\cdot7\cdot10\cdot...\cdot(3n-2)$ является факториалом: $(3n-2)!$ ? Правильный ли я сделал из этого вывод?

[Otta]

Нет, потому что факториал, очевидно, этим самым не является.

Вы вообще не о том. Вы о сходимости рядов собирались думать.

[soulstealer]

Otta
Тогда как мне показать, второй ряд сходится или расходится?

[Otta]

Наверное, изучить признак Даламбера. Применять признак, не делая никаких выводов, ну вообще никаких, занятие бесполезное.

[soulstealer]

Otta
Я применил признак к ряду, составленного из модулей, получилась бесконечность, следовательно ряд расходится. Но это только из модулей, т.е. исходный ряд или сходится условно или расходится. Как мне теперь перейти ко второму пункту? Нам показывали на семинаре через признак Лейбница: 1) должно выполняться необходимое условие сходимости 2) члены ряда должны убывать

[Otta]

soulstealer
Я Вас поняла. Но настоятельно рекомендую изучить признак Даламбера, тем не менее. Если Вы этим займетесь, то заметите в формулировке модули общего члена, а это значит, что признаку наплевать, считаете Вы, что занимаетесь изучением условной сходимости или же абсолютной.

Прочитайте внимательно.