Компактное Хаусдорфово пространство с счётной мощностью

[revenalp]

Помогите разобраться с топологией. Наверное, я неправильно понимаю дефиниции.
У Кунена есть задача:

if $X$ is any compact Hausdorff space and $0 < \left\lvert X\right\rvert \leqslant \aleph _0$, then $X$ is homeomorphic to some successor ordinal.

Однако возьмём, например, топологическое пространство из двух элементов $x$, $y$, открытые множества которого: $\varnothing$, $\left\lbrace x\right\rbrace$, $\left\lbrace y\right\rbrace$, $\left\lbrace x, y\right\rbrace$.
Оно и компактно, и хаусдорфово, и мощность его равна двум. Однако никакому ординалу оно не гомеоморфно. Что тут не так?

[Xaositect]

Как же не гомеоморфно? Какие открытые множества в ординале $2$?

[revenalp]

Xaositect в сообщении #1075565 писал(а):

Как же не гомеоморфно? Какие открытые множества в ординале $2$?

Поскольку ординал $2$ - это множество $\left\lbrace \varnothing ,\left\lbrace\varnothing\right\rbrace\right\rbrace$, то, если рассматривать его топологию, кажется, в нём всего три открытых множества: $ \varnothing$, $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$, $\left\lbrace \varnothing ,\left\lbrace\varnothing\right\rbrace\right\rbrace$?

[Xaositect]

Так, как определяется топология на упорядоченном множестве (в частности, на ординале)?

[revenalp]

Xaositect в сообщении #1075569 писал(а):

Так, как определяется топология на упорядоченном множестве (в частности, на ординале)?

Понял, в чём сглупил. Я представил себе дурацкую топологию ординала. Если его открытые множества: $\varnothing$, $\left\lbrace \varnothing\right\rbrace$, $\left\lbrace\left\lbrace \varnothing\right\rbrace\right\rbrace$, $\left\lbrace \varnothing, \left\lbrace\varnothing\right\rbrace\right\rbrace$, то всё отлично. Спасибо!