Факториал растёт быстрее любого многочлена. Как доказать?

[ewert]

atlakatl в сообщении #1072909 писал(а):

Это другой подход к доказательству?

Да, другой именно подход. Факториал растёт быстрее степени ровно потому же, почему быстрее степени растёт показательная функция: потому, что $\frac{a_{n}}{b{n}}:\frac{a_{n+1}}{b{n+1}}$ подпирается некоторой константой. И при этом в случае факториала эта подпорка гораздо грубее, чем в случае показательной.

А логарифмов на этот момент и вовсе нет. Скрипач не нужен.

[provincialka]

Недавно была похожая тема «Доказать равенство». Как раз про показательную функцию. Собственно, тот метод можно применить и здесь.

-- 13.11.2015, 19:21 --

Собственно, идея простая: ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n^k}{n!}$ сходится по признаку Даламбера, значит, его общий член стремится к 0.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1073066 писал(а):

идея простая: ряд

это не вполне спортивно: рядов на этот момент ещё нет. Хотя суть дела, разумеется, именно в этом.

[provincialka]

ewert
Ну, шутка же!

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1073069 писал(а):

Ну, шутка же!

ну так доцент -- он же тупой

[provincialka]

(to ewert)

На меня намекаете?

[ewert]

(Оффтоп)

это дело обоюдное, скорее всего

[levtsn]

Известно что экспонента растет быстрее любого конечного полинома.
Экспонента за единицу времени увеличивается в константу раз, а факториал - во все возрастающее число раз.
следовательно факториал растет быстрее любого конечного полинома.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Это слишком на пальцах. Если бы этого хватало, тема, возможно, и не появилась бы.

[levtsn]

(Оффтоп)

Что значит слишком на пальцах? Где недостаток?

[bot]

levtsn в сообщении #1073114 писал(а):

Экспонента за единицу времени увеличивается в константу раз, а факториал - во все возрастающее число раз. следовательно факториал растет быстрее любого конечного полинома

levtsn в сообщении #1073220 писал(а):

Где недостаток?

Берём две последовательности $a_n=2^n$ и $b_n=2^n\left(1-\frac12\right)\left(1-\frac13\right)\left(1-\frac14\right)\ldots\left(1-\frac1n\right).$
Последовательность $a_n$ увеличивается в константу раз, а $b_n$ - во всё возрастающее число раз. Следовательно последовательность $b_n$ растёт быстрее последовательности $a_n$.

[levtsn]

"Мультипликат" факториала превзойдет любую конечную константу.

[AIAI]

Через формулу Стирлинга (если ее можно использовать) элементарно получается.

[bot]

levtsn в сообщении #1073229 писал(а):

"Мультипликат" факториала превзойдет любую конечную константу.

А это ещё что за зверь? Видать не даром в кандалах кавычках.

AIAI в сообщении #1073234 писал(а):

Через формулу Стирлинга (если ее можно использовать) элементарно получается.

Ой, скока можна? Уже не раз эту формулу поминали - это раз. А во-вторых, зачем пушка (до которой ещё ползти и ползти), когда рогатка уж давно в руки вложена.

g______d в сообщении #1072894 писал(а):

Воспользуйтесь неравенством $n!\ge(n/2)^{n/2}$.

Само неравенство очевидно - из двух слагаемых хотя бы одно не меньше половины их суммы.

[AIAI]

(bot)

bot в сообщении #1073249 писал(а):

Ой, скока можна? Уже не раз эту формулу поминали - это раз.

делал поиск в теме слова "Стирл" не было обнаружено, всю тему не читал, поэтому привел свой вариант.