Факториал растёт быстрее любого многочлена. Как доказать?

[atlakatl]

Утверждение это известно: "Факториал ... растёт быстрее, чем многочлен любой степени" (Википедия, "Факториал") и интуитивно понятно.
Но вот доказательства найти не смог.
Мои попытки решения конструктивно ограничились следующим приёмом:
Если прологарифмировать обе величины (в многочлене оставляем только высшую степень $k$), то получаем довольно нетривиальное выражение:
$\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+...+\ln(n)>k\ln(n)$, начиная с некоторого $n$.
Что дальше делать, не представляю.

[Ms-dos4]

atlakatl
Ну так оцените левую часть интегралом и всё

[atlakatl]

Ms-dos4
Можно поподробнее?
Оценить, - это ж проинтегрировать последний член?
Получаем слева
$n\ln(n)-n$
Справа
$k\ctod (n\ln(n)-n)$
Легче не стало.

[g______d]

Воспользуйтесь неравенством $n!\ge(n/2)^{n/2}$.

[NSKuber]

atlakatl в сообщении #1072890 писал(а):

Оценить, - это ж проинтегрировать последний член?

Нет, это вспомнить, что интеграл - площадь подграфика, нарисовать график логарифма от точки $0$ до $n$ и подумать, почему площадь подграфика на этом участке (он же интеграл) меньше суммы в левой части.

[atlakatl]

g______d
Ваше выражение - для меня - тоже надо доказывать.
NSKuber
Считаю, что моё понятие "оценки" гораздо ближе к традиционному.
То, что Вы предложили, тривиально отсылает к картинке и "подумать". Распишите продолжение, если считаете, что я неправ.

[g______d]

atlakatl в сообщении #1072897 писал(а):

Ваше выражение - для меня - тоже надо доказывать.

Посмотрите на последние $n/2$ множителей.

[Ms-dos4]

atlakatl
Вообще-то, я имел ввиду, что $\[\sum\limits_{k = 1}^n {\ln k} \approx n\ln n - n\]$, а справа то интегрировать ничего не нужно. Отсюда сразу и имеем ответ.

[NSKuber]

atlakatl в сообщении #1072897 писал(а):

То, что Вы предложили, тривиально отсылает к картинке и "подумать".

А вы что, пришли сюда, чтобы вам на тарелочке полное решение принесли? Тут обычно лишь подталкивают в нужном направлении, а "подумать", увы, надо самому.

atlakatl в сообщении #1072897 писал(а):

Распишите продолжение, если считаете, что я неправ.

Это что за ультиматум?
Я был бы не против расписать продолжение и строгое доказательство изложенной мысли, если бы вы не смогли этого сделать самостоятельно, но вы, похоже, даже и не пытались, а просто отмахнулись.

[atlakatl]

Ms-dos4
Понял. Т.е. интегралом мы заменяем сумму ряда. Правой части оставаться той же ничего не мешает.
Теперь порядок. $k$ константа, а $n$ растёт, сколько угодно.
Спасибо.

[ewert]

atlakatl в сообщении #1072886 писал(а):

Если прологарифмировать обе величины

-- то, значит, больше заняться нечем. Что показательная функция растёт быстрее многочлена -- надеюсь, известно? и понятно, почему?

По ссылке в Вике, кстати, написана какая-то нелепость: дескать, $e^{e^n}$ растёт ещё быстрее. Они б ещё с десяток экспонент навесили.

[atlakatl]

ewert в сообщении #1072907 писал(а):

значит, больше заняться нечем

Именно это "занятие" дало доказательство.

ewert в сообщении #1072907 писал(а):

показательная функция растёт быстрее многочлена -- надеюсь, известно? и понятно, почему?

Понятно. Это другой подход к доказательству?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

Я тоже "решающий", не знаю как доказать, поэтому прошу проверить моё решение:

(топикстартеру не подсматривать)

1. Выберем такое $m,$ что $\ln(m)=k$ (точнее, $\lfloor\ln(m)\rfloor=k$), и будем брать $n>m.$ Тогда
    $\mathrm{l.\ h.\ s.}>(n-m)k\stackrel{?}{>}k\ln{n}.$
2. Теперь, достаточно выбрать $n$ достаточно большим, чтобы $n-m\text{ было }>\ln{n}.$