Вопрос по диагональному методу Кантора

[bayah]

provincialka в сообщении #1069036 писал(а):

Не получится. Откуда вы знаете, что сможете подобрать цифры на диагонали так, чтобы они периодически повторялись? Например, вы уже построили дробь $0,123123123$, а на десятом месте в десятом числе стоит как раз $1$. И выбрать ее вы не можете.

Да нет, я даже не предполагал формировать период у числа. Я имел ввиду, что всегда после формирования какой-то части диагональным методом в конец можно дописать число какой-то произвольный период. Мы же не полагаем, что непериодическая часть рационального числа может быть актуально бесконечной. Она может быть бесконечна в смысле, сколь угодно большая, но не бесконечная, как у иррациональных чисел.

[provincialka]

bayah в сообщении #1069082 писал(а):

Да нет, я даже не предполагал формировать период у числа.

Тогда с чего бы ему появиться? А если он не появится, то и число не будет рациональным и всё ваше возражение разрушится...

bayah в сообщении #1069082 писал(а):

всегда после формирования какой-то части диагональным методом в конец можно дописать число какой-то произвольный период.

Что значит "дописать"? Зачем? Ну, допишете, и получите число, которое уже есть в списке. Противоречия никакого нет.

[sergei1961]

В вопросах философии-мне нет дела, пусть волнует филозофов. А в ДАН-это никуда не годится, тем более там ранее было прямо написано в правилах, что дискуссионные статьи не публикуются. Кто же это представил из академиков, можете посмотреть?

[ewert]

Конкретно эта ссылка была на "Вопросы философии". А что там в другой статье, которая в ДАНе -- неизвестно, та ссылка не открывается.

[bayah]

provincialka в сообщении #1069086 писал(а):

bayah в сообщении #1069082 писал(а):

Да нет, я даже не предполагал формировать период у числа.

Тогда с чего бы ему появиться? А если он не появится, то и число не будет рациональным и всё ваше возражение разрушится...

bayah в сообщении #1069082 писал(а):

всегда после формирования какой-то части диагональным методом в конец можно дописать число какой-то произвольный период.

Что значит "дописать"? Зачем? Ну, допишите, и получите число, которое уже есть в списке. Противоречия никакого нет.

Погодите, какой вообще изначальный смысл вкладывается в понятие мощность бесконечного множества? Это не число, которое характеризует количество элементов, это инвариант, соответствие множеств какому-то правилу. Это правило в данном случае - установление взаимно однозначного соответствия. Если такое соответствие можно установить с множеством натуральных чисел, то множество называют счетным. При этом, я так понимаю, это не буквально означает, что все элементы множества пронумерованы до конца, потому что нет конца у бесконечного множества. А означает это лишь возможность поставить какому-либо наперед заданному произвольному элементу данного множества, какое-то число из натурального ряда.

Вообще говоря, я теперь даже не понимаю что доказывается диагональным методом. Если допустим взять рациональные числа и доказывать диагональным методом, что есть какое-то другое число, то что с того? Чисел бесконечно - ясно дело всегда есть еще какое-то. Что вообще значит предположение - пронумеровали все элементы множества? Каким образом все, если их бесконечно? А потом к этому предположению строится противоречие с помощью построения еще одного числа. Ясно дело его можно построить хоть для каких чисел.
Мы не можем сосчитать все эелемнты бесконечного множества, и составить весь список его элементов не можем, можем только указать метод, который будучи применен сколько угодно раз даст нам сколько угодно большую нумерацию, но не пронумерует все элементы.

[ewert]

bayah в сообщении #1069190 писал(а):

Если допустим взять рациональные числа и доказывать диагональным методом, что есть какое-то другое число, то что с того?

А Вы всё-таки попытайтесь доказать. Пока что все Ваши попытки оказывались неудачными, и Вам на это указывали открытым текстом.

[provincialka]

bayah в сообщении #1069190 писал(а):

А означает это лишь возможность поставить какому-либо наперед заданному произвольному элементу данного множества, какое-то число из натурального ряда.

Ну да. Так. Давайте вспомним, что вы хотели доказать или опровергнуть? Я поняла так: вы утверждаете, что диагональным методом можно доказать "несчетность" множества рациональных чисел? Вот давайте по пунктам:

1. Предположим, что множество $\mathbb Q$ счетное, то есть каждый его элемент получил номер, $\mathbb Q =\{q_n\}$
2. Попробуем построить число, которого нет в списке. Для этого выпишем десятичную дробь $x=0,abc...$ такую, что $n$-ая цифра не совпадает с аналогичной цифрой $q_n$.

Что дальше? Дальше надо показать, число $x$ принадлежит $\mathbb Q$. Вот это-то и не получается.

-- 01.11.2015, 19:27 --

bayah в сообщении #1069190 писал(а):

Мы не можем сосчитать все эелемнты бесконечного множества, и составить весь список его элементов не можем, можем только указать метод, который будучи применен сколько угодно раз даст нам сколько угодно большую нумерацию, но не пронумерует все элементы.

Ну так этот "метод" и можно называть "нумерацией". Последовательность $\{q_n\}$ пробегает все множество $\mathbb Q$, и такую последовательность можно построить. Каждое рациональное число будет иметь свой номер. Так что найти какое-то "новое" число, не входящее в список, не удастся.

[Geen]

bayah в сообщении #1069026 писал(а):

Я не в силах оценить верно или нет его рассуждение.

Обсудилось здесь topic102405.html

[arseniiv]

bayah
Если что, взаимно однозначное соответствие — это тоже множество. Множество пар с первыми элементами из одного множества и вторыми — из другого. Ну и плюс с требованием, чтобы пара, содержащая любой конкретный элемент слева/справа, всегда в таком множестве была ровно одна. Возможность построить взаимно однозначное соотсветствие — это всего-то утверждение о существовании такого множества.

-- Пн ноя 02, 2015 05:22:43 --

И если это не ясно, то, значит, недостаточно известно основ, чтобы подходить к диагональному методу.

[bayah]

provincialka

provincialka в сообщении #1069280 писал(а):

Ну да. Так. Давайте вспомним, что вы хотели доказать или опровергнуть? Я поняла так: вы утверждаете, что диагональным методом можно доказать "несчетность" множества рациональных чисел? Вот давайте по пунктам:

1. Предположим, что множество $\mathbb Q$ счетное, то есть каждый его элемент получил номер, $\mathbb Q =\{q_n\}$
2. Попробуем построить число, которого нет в списке. Для этого выпишем десятичную дробь $x=0,abc...$ такую, что $n$-ая цифра не совпадает с аналогичной цифрой $q_n$.

Что дальше? Дальше надо показать, число $x$ принадлежит $\mathbb Q$. Вот это-то и не получается.

1). А почему не получается? Потому, что числа могут располагаться в каком угодно порядке и с каким угодно периодом на конце. И таким образом очередная цифра в конструируемом нами диагональным методом числе может быть произвольной, а значит период не получится? Верно?

2). Так, а если мы будем рассматривать подмножество всех рациональных чисел, таких, что в нем будут только рациональные числа с периодом 0?
В этом случае у нашего конструируемого числа будет формироваться период?
Тут я не пойму вот что: В этом же случае цифра для нашего конструируемого числа может браться не обязательно из периода, а из непериодической части рационального числа, оно ведь может быть каким угодно? Получается в неважно какое множество мы рассматриваем, рациональных или действительных чисел, - они всегда могут иметь какую-то "непериодическую" цифру в своей записи на какой угодно десятичной позиции? Только в случае рациональных чисел это в силу того, что их бесконечное количество, а в случае иррациональных, в силу того что любое из них и так имеет бесконечно десятичных разрядов? Правильно?
Тут смущает, что рациональные числа конечны, то есть рано или поздно там есть период, но при рассмотрении всех рациональных чисел, мы не можем сказать, что с какого-то разряда у всех у них будут периоды, и в этом смысле они как будто бы тоже не имеют конечной записи...
То есть типа, при $n \to \infty$, $q_n$ стремиться к иррациональному числу ( где $q_n$ - рациональное число с номеров $n$ в нашей нумерации) ?

arseniiv

arseniiv в сообщении #1069433 писал(а):

Если что, взаимно однозначное соответствие — это тоже множество. Множество пар с первыми элементами из одного множества и вторыми — из другого. Ну и плюс с требованием, чтобы пара, содержащая любой конкретный элемент слева/справа, всегда в таком множестве была ровно одна. Возможность построить взаимно однозначное соотсветствие — это всего-то утверждение о существовании такого множества.

А что, так можно? То есть я понял, что вроде как Кантор предложил считать взаимно однозначное соответствие на бесконечных множествах как критерий их эквивалентности в смысле мощности. Но это вообще логично? Не противоречиво? При этом сохраняются смыслы которые применимы к конечным множествам? Насколько я слышал, против такой актуализации бесконечности были против и Ньютон и Пуанкаре и Гаус в свое время? Или я фигню сказал?)

arseniiv в сообщении #1069433 писал(а):

И если это не ясно, то, значит, недостаточно известно основ, чтобы подходить к диагональному методу.

Подойдет прочесть "Начала теории множеств" Верещагина и Шеня до момента этого доказательства ?

[iifat]

bayah в сообщении #1070980 писал(а):

А почему не получается?

Ну, в голову приходят следующие очевидные варианты: недостаток ума у доказывающего; утверждение неверно; утверждение недоказуемо. Выбирайте.

bayah в сообщении #1070980 писал(а):

Так, а если мы будем рассматривать подмножество всех рациональных чисел, таких, что в нем будут только рациональные числа с периодом 0?
В этом случае у нашего конструируемого числа будет формироваться период?

Никакая закономерность сама собой не сформируется. Вы ж хотели доказать? Доказывайте. Только объясните сначала, что такое рациональное число с периодом 0.

bayah в сообщении #1070980 писал(а):

То есть типа, при $n \to \infty$, $q_n$ стремиться к иррациональному числу ( где $q_n$ - рациональное число с номеров $n$ в нашей нумерации) ?

И вот этот бессмысленный поток сознания как-то б упорядочить прежде чем двигаться дальше. Начать с того, что $q_n$ типа никуда не стремится. Поскольку множество рациональных числ плотно всюду.

[arseniiv]

(Оффтоп)

bayah в сообщении #1070980 писал(а):

Подойдет прочесть "Начала теории множеств" Верещагина и Шеня до момента этого доказательства ?

Не знаю. Прочесть — это одно, а понять — второе. Сначала прочтите.

[bayah]

iifat в сообщении #1071000 писал(а):

Ну, в голову приходят следующие очевидные варианты: недостаток ума у доказывающего; утверждение неверно; утверждение недоказуемо. Выбирайте.

Как конструктивно.
Нет таких тупых людей, чтобы при должном разъяснении не смогли бы понять что-либо из математики.
Либо я ошибаюсь, они есть и я один из них. Подскажите как понять какой вариант реализуется? Только, если я тупой, боюсь что не смогу понять и этого.

iifat в сообщении #1071000 писал(а):

Никакая закономерность сама собой не сформируется. Вы ж хотели доказать? Доказывайте. Только объясните сначала, что такое рациональное число с периодом 0.

Я не говорил, что могу доказать, я не пойму почему именно этого нельзя сделать и написал выше вопросы на этот счет.
Ну то есть рациональное число, с конечным непериодическим числом десятичных разрядов. Дальше идут нули. Можно рассмотреть любой другой период. В контексте вопроса, который я задавал, я просто предлагал рассматривать подмножество рациональных чисел с таким вот одинаковым периодом для всех чисел. И спрашивал меняет ли как-то такое рассмотрение картину или нет, и каким образом.

iifat в сообщении #1071000 писал(а):

И вот этот бессмысленный поток сознания как-то б упорядочить прежде чем двигаться дальше. Начать с того, что $q_n$ типа никуда не стремится. Поскольку множество рациональных числ плотно всюду.

Ну да, тут некорректно. Короче я хотел сказать, вот что:
Когда мы рассматривая действительные числа диагональным методом берем из каждого числа по цифре, то цифры в результирующем числе у нас получаются непериодические.
Когда мы рассматривая подмножество рациональных чисел с одинаковым периодом диагональным методом берем из каждого числа по цифре, то цифры в результирующем числе получаются тоже непериодическими.
Меня смущает, что рассматриваемое в этом случае рациональное подмножество имеет конечную непериодическую часть, а иррациональные бесконечную, а в итоге получается, что это не имеет значения для построения нашего нового числа - оно все равно будет формироваться непериодическим образом... Так?
Только в случае рациональных с фиксированным периодом это будет происходить в силу того, что рациональных чисел потенциально бесконечно. А в случае иррациональных, в силу того, что иррациональное число само по себе бесконечно... Что-то я опять запутался..)

[iifat]

bayah в сообщении #1071054 писал(а):

Как конструктивно

Вообще-то, предельно конструктивно.

bayah в сообщении #1071054 писал(а):

как понять какой вариант реализуется?

Все ответы в вашем распоряжении. Только почему-то не хотите понять. Множество рациональных чисел счётно. Множество действительных чисел несчётно. Доказательства вам известны. Чего вы хотите — не понимаю.

bayah в сообщении #1071054 писал(а):

рациональное число, с конечным непериодическим числом десятичных разрядов

Иными словами, рациональное число вида $\frac m{2^k5^l}$, где $m$ не делится ни на 2, ни на 5. Ради бога. Рассмотрите метод Кантора для такого подмножества. Он порождает такое рациональное число?

bayah в сообщении #1071054 писал(а):

в итоге получается, что это не имеет значения для построения нашего нового числа - оно все равно будет формироваться непериодическим образом... Так?

Не так. Кантору не было смысла заморачиваться периодичностью полученного числа, ибо для его целей оная периодичность ничего не меняет. Вам — если вы всё ещё хотите применить его метод для доказательства несчётности рациональных чисел — необходимо построить именно периодическое. Собственно, на этом можно заканчивать: метод Кантора не гарантирует рациональности полученного числа и, стало быть, в вашем случае рациональных чисел неприменим. Ваши попытки модификации могли бы, в принципе, привести к созданию другого способа, пусть и на основе метода Кантора, если б не такая мелочь как доказанная счётность множества рациональных чисел. Разумеется, вам и только вам решать, продолжать ли этот глупый процесс, или же остановиться и хорошенько обдумать достигнутые результаты.

[bayah]

iifat в сообщении #1071057 писал(а):

Иными словами, рациональное число вида $\frac m{2^k5^l}$, где $m$ не делится ни на 2, ни на 5. Ради бога. Рассмотрите метод Кантора для такого подмножества. Он порождает такое рациональное число?

Рассмотрим тот же отрезок $[0,1]$:

$0,a_{11}a_{12}a_{13}...a_{1n1}(0)$
$0,a_{21}a_{22}a_{23}...a_{2n2}(0)$
$0,a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n3}(0)$
...
, где $n1, n2, n3,...$ - конечное число натурального ряда

Теперь сформируем число из диагональных цифр:
$b = 0,a_{11}a_{22}a_{33}...$

Далее, так как все $n1, n2, n3,...$ конечны, а число $b$ имеет бесконечное число разрядов, следует, что $b$ на конце будет иметь период 0, и значит будет рациональным.
Ну и далее как обычно - поменяем каждый разряд в этом числе и получим число являющееся рациональным и не входящее в изначальную нумерацию.

Так нельзя?