Свертка плотностей вероятности

[Artemuch]

Здравствуйте.
Прошу вашей помощи для разъяснения ситуации.
Пусть заданы следующие выражения для плотностей вероятности:
$p_1(\eta,\theta)=(1+q_1)/q_1\cdot{\exp^{\eta}}\cdot((\exp^{\eta}-1)/(1+q_1))^\theta$, которое определено для $\eta>\ln(1+1/(1+q_1))$ и равно нулю иначе,
а также $p_2(\eta,\theta)= (1+q_2)/q_2\cdot{\exp^{\eta}}\cdot((\exp^{\eta}-1)/(1+q_2))^\theta$, которое определено для $\eta>\ln(1+1/(1+q_2))$ и равно нулю иначе, где $q_1$, $q_2$ - больше нуля, $\theta$ - бинарный индекс (0 либо 1).
Хочу найти их свертку:
$p(\eta,\theta_1,\theta_2) = {\int\limits_{-\infty}^{\infty}p_1($\eta-\xi,\theta_1)p_2(\eta,\theta_2)d\xi}$.
Вопрос: с верхним пределом понятно - он останется бесконечностью, а вот условия, которые наложены на $\eta$ для каждой плотности различны и как быть с нижним пределом не ясно.

Теперь ход моих бренных мыслей:
1) подставим все это добро в свертку и получим:
$p(\eta,\theta_1,\theta_2) = $
${\int\limits_{-\infty}^{\infty}(1+q_1)/q_1\cdot{\exp^{\eta-\xi}}\cdot((\exp^{\eta-\xi}-1)/(1+q_1))^{\theta_1} (1+q_2)/q_2\cdot{\exp^{\eta}}\cdot((\exp^{\eta}-1)/(1+q_2))^{\theta_2}}d\xi$

2)Тогда, т.к \xi \geqslant 0 $ и \eta-\xi \geqslant 0 $, то, если я прав можем записать так

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \xi \geqslant 0 \\ \eta_1 - \xi \geqslant 0 \\ \eta_2 - \xi \geqslant 0 \\ \end{array} \right.$$

Или

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \xi \geqslant 0 \\ \xi \leqslant \eta_1/2+\eta_2/2 \\ \end{array} \right.$$

3)Таким образом, получается, что
$p(\eta,\theta_1,\theta_2) = {\int\limits_{0}^{\infty}p_1($\eta-\xi,\theta_1)p_2(\eta,\theta_2)d\xi}$.
Прав ли я?)

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не все формулы набраны $\TeX$ом

Artemuch
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Каждую формулу следует целиком заключать в одну пару долларов. Внутри формул долларов быть не должно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.