Пустой прообраз

[Someone]

maximk в сообщении #1067494 писал(а):

Образ - множество $f(X) = \operatorname{Im} f= \left\lbrace f(x) | x \in X \right\rbrace$ $\subset$ $Y$.

Ну так подставьте туда $X=\varnothing$, и нечего людям голову морочить.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Путь развития регресса - от аналитической теории чисел и теории категорий к пустым прообразам.

[Slav-27]

Итак, есть отображение $X\rightarrow Y$.
"Образом" вы называете то, что стандартно называется "образ множества $X$".Вы спрашиваете:

maximk в сообщении #1067433 писал(а):

Означает ли это, что образ пустого множества может иметь сколь угодно много значений?

То есть, вы спрашиваете: "если множество $X$ пустое, то может ли его образ иметь сколь угодно много элементов?"

Если $X$ пустое, то ничего никуда не отображается, следственно образ пуст. Следственно он может иметь только 0 элементов, а вовсе не сколь угодно много. То есть ответ на ваш вопрос "нет".

И в чём смысл этого словоблудия?

[maximk]

Ну как, если $f^{-1}(b)=a$, то $f(a)=b$. Просто здесь какая-то несогласованность, быть может только наивная интуитивная (и то быть может только моя). Если прообраз $a$ есть пустое множество, то образ этого пустого множества должен иметь своим значением $a$.

-- 27.10.2015, 21:04 --

Anton_Peplov, $C \subset B$.

-- 27.10.2015, 21:12 --

Еще один вопрос, может ли такая ситуация случиться в случае если $X, Y$ - группы, а $f$ - гомоморфизм.
Anton_Peplov, ну A состоит из тех элементов x, что $f(x) \in B$, а $B$ состоит из тех элементов $f(a)$, что $a \in A$. Подействуем на A функцией, получим, что $f(A)$ состоит из тех $f(x)$, что лежат в B.

-- 27.10.2015, 21:16 --

Гипотеза: такая ситуация возможна и в случае групп и их гомоморфизмов, ибо ничто не помешает операции сохраниться при композиции пустых множеств.

[grizzly]

maximk
Я, как и все вокруг, понять Вас не могу. Но вдруг Вам поможет набрать в гугле "пустая функция"?

[Slav-27]

maximk в сообщении #1067507 писал(а):

Если прообраз $a$ есть пустое множество, то образ этого пустого множества должен иметь своим значением $a$.

По-нормальному прообразом элемента $a$ множества $Y$ называется элемент $x$ множества $X$, который отображается в $a$. В таком случае, действительно, образом прообраза $a$ необходимо является $a$.

Вы называете прообразом $a$ множество его прообразов. Это уже другое: множество прообразов не принадлежит области определения $f$, потому что область определения $f$ есть $X$, а не какое-то множество подмножеств $X$. Ну а множество прообразов не обязано подчиняться тем же правилам, что и прообраз.

Поэтому, раз у вас путаница с терминологией, вообще не употребляйте выражение "образ подмножества $Z$ множества $X$" для отображения $X\rightarrow Y$: ведь областью определения этого отображения явлеется $X$, а не множество подмножеств $X$. Говорите только "множество образов элементов множества $Z$" (где $Z\subseteq X$). Применяйте слово образ только для элементов области определения.

При таком словоупотреблении, которое я вам советую, пустое множество не является ничьим прообразом (если только оно не включается как элемент в множество $X$), так что ваш парадокс пропадает.

(Оффтоп)

Мне надоело играть в эту игру.

Лучше бы вам открыть любой учебник, где написано теоретико-множественное определение отображения, и читать его вплоть до просветления - или же быть покарану за троллинг.

"Композиция пустых множеств" - чушь, бессмысленная фраза. Композиция пустых функций - фраза осмысленная, но всё равно чушь. Пожалуйста, не занимайтесь здесь композицией пустых функций.

[Someone]

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1067502 писал(а):

И в чём смысл этого словоблудия?

В троллинге.

maximk в сообщении #1067507 писал(а):

Ну как, если $f^{-1}(b)=a$, то $f(a)=b$.

Что такое $a$ и $b$?

maximk в сообщении #1067507 писал(а):

Просто здесь какая-то несогласованность, быть может только наивная интуитивная (и то быть может только моя). Если прообраз $a$ есть пустое множество, то образ этого пустого множества должен иметь своим значением $a$.

Дело в том, что есть понятие обратного отображения, которое обозначается $f^{-1}$, и есть понятие полного прообраза множества, который обозначается тоже с использованием символа $f^{-1}$, но здесь совершенно не предполагается никакого обратного отображения.

Slav-27, Вы совершенно правы, тут путаница разных понятий: образ элемента, образ множества, обратное отображение, прообраз, полный прообраз, элемент, подмножество.

maximk, либо Вы сейчас продемонстрируете нам
1) определение обратного отображения,
2) определение полного прообраза множества,
3) применение сформулированного Вами определения образа множества к пустому множеству,
либо будем жаловаться модератору на троллинг.

[мат-ламер]

Топикстартер задал вопрос

maximk в сообщении #1067433 писал(а):

Означает ли это, что образ пустого множества может иметь сколь угодно много значений?

Сделал попытку решения

maximk в сообщении #1067469 писал(а):

А, образ пустого множества есть пустое множество, верно?

Строго определил образ множества

maximk в сообщении #1067494 писал(а):

Образ - множество $f(X) = \operatorname{Im} f= \left\lbrace f(x) | x \in X \right\rbrace$ $\subset$ $Y$.

В связи с вопросами к нему

Someone в сообщении #1067595 писал(а):

maximk, либо Вы сейчас продемонстрируете нам
1) определение обратного отображения,
2) определение полного прообраза множества,
...
либо будем жаловаться модератору на троллинг.

у меня вопрос к помогающим. А какое отношение к его вопросу имеет определение обратного отображения и определение полного прообраза множества? ИМХО, вопрос топикстартера достаточно очевиден. Не раздуваем ли мы из мухи слона наукообразностью там, где она не нужна?

-- Ср окт 28, 2015 12:51:46 --

ИМХО, моё мнение по рассматриваемому вопросу. Если на множестве задана функция, то тем самым задана и некоторая функция на множестве его подмножеств (которая сопоставляет каждому подмножеству его образ). У этой функции не может быть много значений просто потому, что это функция.

[grizzly]

del.

Это был мой частный ответ на Ваш вопрос к помогающим.

upd. и я решил его удалить, поскольку совершенно не факт, что и моя "телепатия" о потребностях ТС была ему полезна.

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #1067711 писал(а):

у меня вопрос к помогающим. А какое отношение к его вопросу имеет определение обратного отображения и определение полного прообраза множества? ИМХО, вопрос топикстартера достаточно очевиден. Не раздуваем ли мы из мухи слона наукообразностью там, где она не нужна?

Нет, потому что вопрос именно терминологический. Вот из этой цитаты топикстартера

maximk в сообщении #1067507 писал(а):

Ну как, если $f^{-1}(b)=a$, то $f(a)=b$. Просто здесь какая-то несогласованность, быть может только наивная интуитивная (и то быть может только моя). Если прообраз $a$ есть пустое множество, то образ этого пустого множества должен иметь своим значением $a$.

видно, что он путает две вещи, которые обозначаются одним и тем же символом $f^{-1}$: обратную функцию и полный прообраз.

[мат-ламер]

Xaositect в сообщении #1067728 писал(а):

видно, что он путает две вещи, которые обозначаются одним и тем же символом

Он путает (в цитируемом абзаце) функцию, которая задана на элементах множества, и функцию, которая задана на подмножествах множества (т.е. функцию, которая отображает подмножество в его образ).

[tolstopuz]

Еще топикстартер путает множества и элементы:

maximk в сообщении #1067473 писал(а):

Если не существует элемента, отличного от пустого множества, образ которого есть элемент $a$, то, значит, прообраз $a$ есть пустое множество.

[Dmitry Tkachenko]

maximk в сообщении #1067433 писал(а):

Пусть задано произвольное отображение множеств $f: X \to Y$. Пусть как прообраз элемента $a$, так и прообраз элемента $b$, отличного от $a$, есть пустое множество. Означает ли это, что образ пустого множества может иметь сколь угодно много значений?

Рассмотрим отображение $f\colon X\to Y,$ где $X, Y$ --- абстрактные множества. Известно, что прообразы элементов $a,b\in Y,$ где $a\ne b$ есть пустое множество. То есть $f^{-1}\big(\{a\}\big)=\{x\in X\colon f(x)=a\}=\varnothing$ и $f^{-1}\big(\{b\}\big)=\{x\in X\colon f(x)=b\}=\varnothing.$ Правда ли, что $f(\varnothing)=\{f(x)\colon x\in \varnothing\}$ может иметь сколь угодно много значений?

maximk, возможно, Вы думаете, что в данной ситуации $f(\varnothing)=\{a\}$ и $f(\varnothing)=\{b\}.$ Это не правильно, потому что прообраз --- это не обратное отображение, то есть $f\Big(f^{-1}\big(\{y\}\big)\Big)\ne \{y\}.$ Еще важен тот факт, что пустое множество $\varnothing$ --- это множество, а не элемент. Здесь Вы что-то понимаете? Полезно посмотреть определение прообраза элемента отображения (хотя бы в википедии). Напишите его здесь. Желательно, очень подробно: откуда элемент, что и куда отображается, подмножеством чего является.

Если Вы разобрались и поняли выше написанное, то можно рассматривать такой вопрос: "может ли образ множества иметь сколь угодно много значений?". Посмотрите на образ пустого множества $f(\varnothing)=\{f(x)\colon x\in \varnothing\}$ и попробуйте найти ответ на этот вопрос.

[Munin]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1068206 писал(а):

Это не правильно, потому что прообраз --- это не обратное отображение

Наталкивали, наталкивали его на эту мысль... без толку. Он не хочет смотреть определения.

[Anton_Peplov]

Ага, определения он смотреть не хочет. Он хочет решать актуальные проблемы математики:)