Определение евклидова пространства

[CrewQwe]

Вопрос чисто для разъяснения связей между всяческими пространствами, которыми можно обозвать достаточно яркий и всем известный еще со школы пример -- евклидово пространство $R^3$. Пока я о нем могу сказать точно, что это:

1) Векторное пространство. Через векторное пространство выводится классическое определение евклидова пространства с заданной на нём структурой скалярного произведения. Это несомненно.

2) Метрическое пространство. Само собой евклидово пространство обладает метрикой.

3) Топологическое пространство. Метрика, в свою очередь, определяет топологию, соответствующую этой метрике.

4) Аффинное пространство. Это также не вызывает сомнений.

5) Банахово пространство. Пожалуй, евклидово пространство можно определить через полное метрическое пространство, норма которого порождена скалярным произведением.

6) Гильбертова пространство. Как частный случай, само собой.

7) Хаусдорфово пространство. В евклидовом пространстве для любых двух различных точек x и y существуют непересекающиеся окрестности. Так что евклидово пространство обладает хаусдорфовостью.

Вопрос следующий: раз евклидово пространство столь богато остальными пространствами (и я наверняка еще множество других не указал), как же выделить самое общее и самое формальное определение?

[iifat]

Не забудьте обозвать его группой по сложению.
Эти математики обожают выискивать мельчайшие черты всего что угодно и строить об этом разнообразные интересные теории. Любое понятие может включать в себя кучу черт, рассматриваемых отдельными теориями. Это вы ещё про дедекиндовы сечения забыли.

[мат-ламер]

CrewQwe в сообщении #1066112 писал(а):

самое общее и самое формальное определение?

Поясните смысл этих слов.

[Anton_Peplov]

CrewQwe в сообщении #1066112 писал(а):

Хаусдорфово пространство.

Любое метрическое пространство - хаусдорфово. Не только евклидово.

мат-ламер в сообщении #1066139 писал(а):

Поясните смысл этих слов.

Смысл этих слов прост, как пареная репа. Возьмем в качестве пространства-носителя $\mathbb{R}^3$. Пусть $A$ - множество всех линейных пространств на $\mathbb{R}^3$, $B$ - множество всех метрических пространств над $\mathbb{R}^3$, $C$ - множество всех топологических пространств над $\mathbb{R}^3$... CrewQwe предполагает, что
множества $A, B, C...$ линейно упорядочены по включению, и хочет найти самое широкое из них.
С линейной упорядоченностью тут, однако, не так просто. Безусловно, гильбертовы = евклидовы сепарабельные $\subset$ евклидовы $\subset$ нормированные $\subset$ метрические $\subset$ хаусдорфовы $\subset$ топологические. А вот куда воткнуть произвольные линейные пространства? С одной стороны, по умолчанию на них не задано никакой топологии. С другой - это не означает, что эту топологию нельзя ввести, уж какую-нибудь топологию (к примеру, дискретную или тривиальную) можно ввести на любом пространстве-носителе. Но сказать, что линейные пространства - штука более общая, чем топологические, тоже нельзя, т.к. топологию можно ввести и не определяя никакого линейного пространства (я думаю, в т.ч. так, что относительно этой топологии не будет непрерывна никакая операция сложения элементов, но это надо проверять). В общем, каноническое $\mathbb{R}^3$ - дерево, растущее из нескольких корней, а не из одного корня.

[Brukvalub]

CrewQwe в сообщении #1066112 писал(а):

как же выделить самое общее и самое формальное определение?

Сначала нужно найти самое маленькое положительное действительное число, а уж потом останется сущий пустяк.

[CrewQwe]

Anton_Peplov, огромное спасибо за Ваш ответ! Это именно то, что я хотел услышать. То есть определение евклидова пространства только через векторное, даже с условием скалярного умножения -- неполно. Ведь так? Допустим, метрика, далее необходимо вытекающая из нее хаусдорфовость, топология -- все это свойства евклидова пространства, то есть некого рода следствия. Так разве считается безграмотным выводить определение через свойства определяемого?

[provincialka]

CrewQwe в сообщении #1066189 писал(а):

То есть определение евклидова пространства только через векторное, даже с условием скалярного умножения -- неполно.

А что такое "полное" определение?
Что касается линейности, то в некотором смысле $\mathbb R^3$ это единственное векторное пространство над $\mathbb R$ размерности 3.

[Brukvalub]

CrewQwe в сообщении #1066189 писал(а):

То есть определение евклидова пространства только через векторное, даже с условием скалярного умножения -- неполно.

Вы сами-то понимаете свой вопрос? Попробуйте открыть учебник по линейной алгебре и прочесть определение Евклидового векторного пространства, возможно, тогда все пройдет.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1066148 писал(а):

Пусть $A$ - множество всех линейных пространств на $\mathbb{R}^3$

Без контекста это было бы понято неправильно. Лучше сказать «с носителем $\mathbb R^3$», иначе кажется, что есть какое-то поле $(\mathbb R^3, {?}, {?})$.

CrewQwe в сообщении #1066189 писал(а):

Это именно то, что я хотел услышать. То есть определение евклидова пространства только через векторное, даже с условием скалярного умножения -- неполно.

Стоп, не называете ли вы евклидовым пространством и (1) линейное со скалярным произведением, и (2) $\mathbb R^3$ с естественными линейной структурой и скалярным произведением? Конечно, евклидовых пространств куча — хотя бы $\mathbb R^{81}$ взять. Потому, разумеется, линейное пространство со скалярным произведением не может быть однозначно именно $\mathbb R^3$. А если вам нужно определение последнего, то вы на него и смотрите: $\mathbb R^3$ оно и есть $\mathbb R^3$. Разве что добавить к нему определения сложения, умножения на скаляр и скалярного произведения.

-- Сб окт 24, 2015 21:44:20 --

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1066244 писал(а):

иначе кажется, что есть какое-то поле $(\mathbb R^3, {?}, {?})$

…а оно безусловно есть, т. к. $\mathbb R^3$ равномощно хотя бы $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

[CrewQwe]

provincialka, в моем понимании, это дополнить классическое определение до совершенного в смысле полноты. То есть, чтобы без контекста было понятно, с чем мы имеем дело. Этого можно добиться только упорядочив все свойства, которыми обладает тот или иной объект. Вот, я взял евклидово пространство. Мне показалось, что информации о том, что это в современной математике векторное пространство с заданной на нём структурой скалярного произведения, ну, мягко говоря, недостаточно. Ведь справедливо будет сказать, что евклидовы пространства еще и метрические, топологические и все остальные, которые я перечислил. Вот, примером топологических пространств как раз являются евклидовы пространства. Какой отсюда я делаю вывод? Что введение топологии является необходимым, но не достаточным условием для евклидовых пространств. Совокупность всех необходимых условий -- полное определение того или иного объекта.

Brukvalub, понимаю, прочитал, спасибо.

arseniiv, как бы Вы определили евклидово пространство $\mathbb{R}^n$в самом общем случае?

[Brukvalub]

CrewQwe в сообщении #1066286 писал(а):

Вот, я взял евклидово пространство.

Дайте ОПРЕДЕЛЕНИЕ того, что вы взяли. Без данного вами определения "евклидова пространства" дальнейшее обсуждение бессмысленно.

[мат-ламер]

CrewQwe в сообщении #1066286 писал(а):

в моем понимании, это дополнить классическое определение до совершенного в смысле полноты. То есть, чтобы без контекста было понятно, с чем мы имеем дело.

Все евклидовы пространства некоторой конечной размерности изоморфны между собой.

[arseniiv]

CrewQwe в сообщении #1066286 писал(а):

arseniiv, как бы Вы определили евклидово пространство $\mathbb{R}^n$в самом общем случае?

Руками. Очевидно, как $\mathbb R^n$ (плюс понятно какие операции). Если это выглядит непонятно, то как «вещественное конечномерное линейное пространство». Опять же, с естественным скалярным произведением $((a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)) = \sum_{i=1}^n a_ib_i$. Затруднений не вижу.

[ewert]

CrewQwe в сообщении #1066286 писал(а):

arseniiv, как бы Вы определили евклидово пространство $\mathbb{R}^n$в самом общем случае?

Я хоть и не arseniiv, но скажу (и практически уверен, что и он сказал бы примерно так же). Я лично "в самом общем случае" -- никак бы не определял, т.к. это просто бессмысленно ввиду самой частности этого случая. Я бы лично тупо наложил аксиоматическое определение скалярного произведения на конкретно $\mathbb{R}^n$, а потом бы не менее тупо поглядел, что вытекает из этого наложения для конкретно этого случая.

[arseniiv]

CrewQwe в сообщении #1066286 писал(а):

То есть, чтобы без контекста было понятно, с чем мы имеем дело. Этого можно добиться только упорядочив все свойства, которыми обладает тот или иной объект. Вот, я взял евклидово пространство. Мне показалось, что информации о том, что это в современной математике векторное пространство с заданной на нём структурой скалярного произведения, ну, мягко говоря, недостаточно. Ведь справедливо будет сказать, что евклидовы пространства еще и метрические, топологические и все остальные, которые я перечислил.

Нет. На евклидовом пространстве можно ввести не естественную метрику. И другую топологию. Так что евклидово пространство — это не более чем евклидово пространство. Какие расширения какой-то штуки считать естественными, может даже зависеть от контекста.