Мощности в ZFC

[Keter]

Правда ли, что если мощность $A$ строго меньше мощности $B,$ то мощность $2^A$ строго меньше мощности $2^B$ ?
Думаю, что в ZFC это неразрешимая задача. Прав ли я? Как это можно показать?

[grizzly]

Keter в сообщении #1064114 писал(а):

Прав ли я? Как это можно показать?

Да, это утверждение не зависит от аксиоматики ZFC. Поделюсь пока ссылкой на интересное обсуждение с упоминанием источников (раз уж я её нашёл), но про "как показать" я скромно промолчу. (Этот пример там первый по популярности среди ответов.)

[Someone]

Keter в сообщении #1064114 писал(а):

Думаю, что в ZFC это неразрешимая задача.

Ага.

Keter в сообщении #1064114 писал(а):

Как это можно показать?

П. Дж. Коэн. Теория множеств и континуум-гипотеза. "Мир", Москва, 1969.

[Keter]

grizzly, большое спасибо за ссылку.

Someone, книгу нашел, а этого факта в ней не нашел...

Не могу понять, а это утверждение эквивалентно континуум-гипотезе?

[Someone]

Keter в сообщении #1064943 писал(а):

Не могу понять, а это утверждение эквивалентно континуум-гипотезе?

Разумеется, нет.

Keter в сообщении #1064943 писал(а):

книгу нашел, а этого факта в ней не нашел

Мне почему-то казалось, что там должно быть… Тогда посмотрите главу XIII, пункт 8.7 (это конец главы) книги

А. Мостовский. Конструктивные множества и их приложения. "Мир", Москва, 1973.

[Keter]

Someone, спасибо большое за книгу!

Someone в сообщении #1065180 писал(а):

Разумеется, нет.

А как это строго показать? Я не совсем понял шаги доказательства того, что в ZFC изначальное утверждение нельзя ни доказать ни опровергнуть. Ссылаемся ли мы на то, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть?

[Someone]

Keter в сообщении #1065546 писал(а):

А как это строго показать?

Господи, Вы хотите, чтобы я переписал сюда многостраничное доказательство? Изучайте математическую логику, в особенности — теорию моделей, метод форсинга (вынуждения), теорию множеств, читайте статьи. Тогда разберётесь.
Вообще, это сразу следует из утверждения, сформулированного в книге Мостовского. Ссылку на конкретное место я давал.