Вариационное исчисление. Общая формула вариации.

[songbird]

Здравствуйте. Разбирая основную формулу для вариации функционала интегрального типа по учебнику И.М.Гельфанда "Вариационное исчисление" (1961 год, Глава 3, "Основная формула для вариации функционала. Задача с подвижными концами", стр 58, ), наткнулся на следующее выражение:

$$h(x_1)\sim \delta{y_1}-y'\delta x_1;$$

И пояснение снизу: "Где $\sim$ опять-таки означает равенство с точностью до бесконечно малых порядка выше первого".
У меня же получается следующее выражение:

$$ \delta y_1 =\overset{-}{y}(x_1+\delta x_1) - y(x_1) = \overset{-}{y}(x_1) + \overset{-}{y}'(x_1) \delta x_1 + o(\delta x_1) - y(x_1)=h(x_1) + \overset{-}{y}'(x_1) \delta x_1 + o(\delta x_1)=$$

$$= h(x_1) + h'(x_1)\delta x_1 + y'(x_1)\delta x_1 + o(\delta x_1)$$

$$h(x_1) \sim \delta y_1 - h'(x_1)\delta x_1 - y'(x_1)\delta x_1$$

Прошу помочь разобраться.

[Brukvalub]

Так хочется посмотреть на сам функционал, но учебник я уже сдал в библиотеку, а сосед по комнате Семеныч сказал, что даст посмотреть на формулу только за пиво.

[songbird]

Функционал такого типа:

$$J[y] = \int\limits_{x_0}^{x_1} F(x,y,y') dx$$

Область определения функционала есть множество всех гладких функций. Область определения у последних есть отрезок $[x_0,x_1]$, и он у всех функций разный. Выводим в данной книге, на данной странице (58), общую формулу вариации функционала, т.е. часть приращения функционала $J[\overset{-}{y}]-J[y]$, которая удовлетворяет некоторым условиям. В учебнике сказано каким, но если надо, я могу и написать.
Пояснительная картинка прямиком из того же учебника:

[мат-ламер]

songbird в сообщении #1062397 писал(а):

по учебнику И.М.Гельфанда "Вариационное исчисление" (1961 год,

А чем вызван выбор учебника? Гельфанда не читал (и к сожалению его обозначения не разобрал), но читал Кошу и Галеева с Тихомировым. Там этот вопрос объясняется так. Минимум интегрального функционала достигается, когда призводная по направлению (Гато) нулевая. Производную заносим под интеграл и применяем формулу интегрирования по частям.