Гомеоморфизм промежутков на числовой прямой

[Anton_Peplov]

Будем называть промежутками множества следующего вида: $[a, b]$, $(a, b]$, $[a, b)$, $(a, b)$, $(a, \infty)$, $[a, \infty)$, $(-\infty, b)$, $(-\infty, b]$, $\mathbb{R}$. Решил я в рамках наведения порядка в голове разбить множество всех промежутков на классы отношением гомеоморфизма в канонической топологии. И получилось у меня, грешного, то ли два, то ли три класса. Собственно, в этом и вопрос - два или три.
1) $[a, b]$;
2) $(a, b)$, $(a, \infty)$, $(-\infty, b)$, $\mathbb{R}$;
3?) $(a, b]$, $[a, b)$, $[a, \infty)$, $(-\infty, b]$.

Вот 3?) - это отдельный класс или все-таки подмножество 2) ? Ясно, что представители 3?) гомеоморфны друг другу и так же ясно, что они не гомеоморфны $[a, b]$ (ибо некомпактны). Но, может быть, они гомеоморфны $\mathbb{R}$? С одной стороны, я не знаю топологических свойств, которыми они различаются с $\mathbb{R}$ – они связны, некомпактны, наследуют из него сепарабельность, метрику и все, что за них причитается (отделимость, счетность, паракомпактность...). С другой – не могу построить гомеоморфизма.

Алчу помощи.

[Xaositect]

Ну например, на полуинтервале есть точка, дополнение которой связно, а на прямой - нет.

[provincialka]

Xaositect, хорошее решение.
А вот, кстати, как "взаимодействует" топология на $\mathbb R$ с существующим на нем порядком? Ведь ясно, что с точки зрения порядка перечисленные множества как раз и различаются (наличием минимума/максимума). Может ли гомеоморфизм промежутка нарушить порядок?

[Anton_Peplov]

О, круто! Поскольку гомеоморфизм $f: X \to Y$ - биекция, то $f(X\verb \ \{ a \}) = Y \verb \ \{f(a)\}$. В то же время гомеоморфный образ связного множества связен. Спасибо, Xaositect!
P.S. А, наверное, есть какой-то стандартный набор приемов доказательства негомеоморфности, кроме проверки поименованных топологических свойств всего пространства (связность, компактность, аксиомы отделимости и т.д.)? Вот про эту точку со связным дополнением - это Вам просто в голову пришло или Вы встречали где-то?

[kp9r4d]

Так это стандартный приём. Есть же куча задач типа "почему букеты из n и m окружностей не гомеоморфны при $n \neq m$" или "почему буквы Х и У негомеоморфны, будучи рассмотрены как подмножества плоскости".

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1061387 писал(а):

Может ли гомеоморфизм промежутка нарушить порядок?

Предлагаю конкретизировать вопрос в таком виде. Может ли гомеоморфный образ множества, содержащего свою точную нижнюю грань, не содержать своей точной нижней грани?

Вопрос, может ли полное пространство быть гомеоморфно неполному или ограниченное - неограниченному, легко проясняется гомеоморфизмом $\mathbb{R}$ и $(a, b)$.

-- 11.10.2015, 16:31 --

kp9r4d в сообщении #1061396 писал(а):

Так это стандартный приём.

Видимо, чтобы овладеть стандартными приемами, нужно решить много-много задач, специально собранных в задачники:) И что интересно, нигде эти приемы не изложены в явном виде:)

[Xaositect]

Anton_Peplov в сообщении #1061393 писал(а):

Вот про эту точку со связным дополнением - это Вам просто в голову пришло или Вы встречали где-то?

Ну в принципе интутивно понятно, что полуинтервал от интервала отличается как раз этой крайней точкой, надо просто формализовать, чем именно она такая особенная. Это первое, что пришло в голову.

Anton_Peplov в сообщении #1061393 писал(а):

P.S. А, наверное, есть какой-то стандартный набор приемов доказательства негомеоморфности, кроме проверки поименованных топологических свойств всего пространства (связность, компактность, аксиомы отделимости и т.д.)?

А ничего другого по большому счету и нет, потому что пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда все их топологические свойства одинаковы (топологические это те, которые могут быть выражены в категории топологических пространств).

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #1061398 писал(а):

Предлагаю конкретизировать вопрос в таком виде. Может ли гомеоморфный образ множества, содержащего свою точную нижнюю грань, не содержать своей точной нижней грани?

Ну взять $(0..1]$ и сгомеоморфить на $[0..1)$.

Anton_Peplov в сообщении #1061398 писал(а):

Видимо, чтобы овладеть стандартными приемами, нужно решить много-много задач, специально собранных в задачники:) И что интересно, нигде эти приемы не изложены в явном виде:)

Да кроме этого "выбрасывания точки" я ничего такого особенного и не припомню. Вообще я тоже когда-то прорешивал этого Виро Харламова, совершенно идиотским занятием занимался, как по мне. Всё что нужно знать из gen.top чтобы не чувствовать себя ущербным: конструкцию (тихоновского) произведения, конструкцию фактортопологии, конструкцию предела по направленности (базису фильтра, фильтру), теорему Тихонова, теорему о метризуемости и (если уж совсем) лемму Урысона об отделимости, а ещё помнить, что хаусдорфовость - это хорошо, а без неё плохо. Зачем я потратил 4 месяца на эту книжку в своё время - ума не приложу, введений в Хелемском, Рудине и Зориче с головой бы хватило.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1061393 писал(а):

Поскольку гомеоморфизм $f: X \to Y$ - биекция, то $f(X\verb \ \{ a \}) = Y \verb \ \{f(a)\}$. В то же время гомеоморфный образ связного множества связен.

Я бы сказал примерно то же самое, но бессвязно, т.е. по-детски: достаточно очевидно, что непрерывная биекция промежутка не может быть немонотонной.

[provincialka]

kp9r4d в сообщении #1061405 писал(а):

Ну взять $(0..1]$ и сгомеоморфить на $[0..1)$.

Ну да... Есть два линейных порядка на $\mathbb R$ и один можно гомеоморфизмом перевести в другой. А "полностью нарушить"? Хм...

-- 11.10.2015, 16:44 --

ewert в сообщении #1061406 писал(а):

достаточно очевидно, что непрерывная биекция промежутка не может быть немонотонной.

Ну, топология и порядок -- все-таки разные структуры...
Сейчас ухожу. Может, попозже расскажете, почему "очевидно"? Нет, мне тоже это кажется верным... Додумывать только некогда...

[Anton_Peplov]

Xaositect в сообщении #1061403 писал(а):

А ничего другого по большому счету и нет, потому что пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда все их топологические свойства одинаковы (топологические это те, которые могут быть выражены в категории топологических пространств).

Это-то я знаю. Я имею в виду - как узнать, какие топологические свойства проверить, чтобы обнаружить негомеоморфность? Вот я проверил те, что в голову пришли, а в голову пришли стандартные, имеющие название и фигурирующие в известных теоремах: связность, линейная связность, компактность, счетная компактность, паракомпактность, аксиомы счетности, аксиомы отделимости, сепарабельность. И запнулся. Все, что в голову пришло, проверил, и все совпадает. А вот про точку со связным дополнением мне в голову не пришло. Наверняка же для любого конечного набора топологических свойств $p_1...p_n$ пространства $X$ можно найти такое топологическое свойство $p$ и такое пространство $Y$, что в $Y$ выполняются все свойства $p_1 ... p_n$, но не свойство $p$. Поэтому мы не можем сравнить $X$ и $Y$ по конечному набору топологических свойств и заключить, что они гомеоморфны. С другой стороны, встает вопрос, где искать это самое свойство $p$, которым $X$ и $Y$ отличаются, ибо есть опасность выдумать еще стопятьсот топологических свойств, но обнаружить, что все они у $X$ и $Y$ совпадают.

[kp9r4d]

provincialka
Если она немонотонна, то где-то во внутренности есть локальный экстремум, в окрестности его можно найти две разные точки, значения в которых совпадают, значит не такая уж и биекция.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1061405 писал(а):

Ну взять $(0..1]$ и сгомеоморфить на $[0..1)$.

Да, глупость сказал. Поторопился.

[ewert]

provincialka в сообщении #1061407 писал(а):

Может, попозже расскажете, почему "очевидно"?

Могу и сейчас. Там в любом случае понадобится некоторый перебор (но простенький) плюс потом теорема Больцано-Коши. Например, так: допустим для определённости, что $f(x_1)<f(x_2)$. Возможно ли тогда $f(y_1)>f(y_2)$?... (предполагается, естественно, что $x_1<x_2$ и $y_1<y_2$)

При $y_1,y_2\in[x_1;x_2]$ это явно невозможно -- нарушается биективность или на участке $[x_1;y_2]$ (если $f(y_1)>f(x_1)$), или на участке $[y_1;x_2]$ (в противном случае). Т.е. на отрезке $[x_1;x_2]$ функция возрастает. Но тогда она возрастает и на любом большем отрезке, т.к. по отношению к этому большему отрезок $[x_1;x_2]$ является вложенным.

[provincialka]

Ага! Понятно. Значит, соображения порядка можно использовать, исследуя гомеоморфизмы на частях прямой. Однако сразу хочется обобщить исходную задачу на многомерный случай. Например, почему не гомеоморфны открытый и полуокрытый/полузамкнутый шары? В $\mathbb R^n$ нет отношения порядка. И выкидывание одной точки не делает шар несвязным.
Хочется как-то использовать понятие "граница", но во внутренней топологии каждого множества граница является пустой!