Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Nataly-Mak]

Ну, а что мы имеем в задаче #1?
Это можно увидеть в последовательностях OEIS A055380 для нечётных длин и A081235 для чётных длин. Решения для $k=15, 22, 24$ найдены участниками проекта.
Для $k>15$, $k>24$ решения надо искать.

Здесь, как мне заметили, фраза о том, что надо искать решения с минимальным значением p, не имеет смысла.
Имеет! Просто мы не знаем, какое будет это минимальное значение p. Поэтому на конкурс принимаются любые решения.
Сколько найдёте, все вводите (за каждое решение начисляется 1 балл). После конкурса мы выберем для каждого k решение с наименьшим значением p, которое, вообще говоря, может оказаться ещё и не минимальным. Минимальность должна быть так или иначе доказана. Вот когда участники проекта проверяли все числа подряд, понятно, что найденные ими решения были с минимальным значением p.
Диаметры кортежей в этой задаче могут быть любыми, никаких ограничений на диаметр нет.

[Jarek]

Nataly-Mak в сообщении #1055810 писал(а):

По привычке проверять все решения на продолжение до следующей длины k, проверила оба решения Jarek для $k=18$.
Одно из них продолжилось до кортежа длины 20 с минимальным диаметром 94
Смотрю, смотрю - не ошиблась ли; вроде всё правильно, в Wolfram Alpha проверила.
Написала Jarek, он ещё проверит. Жду от него подтверждения.

I confirm, one 18 does extend to 20 with diameter 94. Somehow I assumed finding a 20 with the minimal diameter to be to hard to give it a try, so I didn't think of testing the two 18's for possible extension to 20. Thank you, Natalia, for believing in miracles and checking the two 18's.

[Nataly-Mak]

Да, это действительно чудо!
Я начала проверять, в минус - 6, в плюс - тоже 6. Чуть с кресла не выпала

[Nataly-Mak]

Преемственность паттернов с минимальными диаметрами:

k=16
0  6  8  14  20  24  26  36  38  48  50  54  60  66  68  74
k=18
0  4  10  12  18  22  28  30  40  42  52  54  60  64  70  72  78  82
k=20
0  6  10  16  18  24  28  34  36  46  48  58  60  66  70  76  78  84  88  94

Случай, кажется, уникальный (хотя тщательно другие паттерны для чётных и нечётных длин не проверила на этот счёт).
Понятно, что из решения для $k=20$ автоматически получаются и решения для $k=18, k=16$.
А вот наоборот не всегда.
Например, известное решение для $k=16$ не продолжается на решение для $k=18$.
Решение Jarek для k=18 оказалось замечательным в этом плане! Из него, понятно, получается решение для $k=16$, оно продолжилось и на решение для $k=20$.
Три решения в одном

-- Ср сен 23, 2015 13:51:35 --

Посмотрела паттерны с минимальным диаметром для $k=22$, оказалось, что преемственность продолжается:

k=16
0  6  8  14  20  24  26  36  38  48  50  54  60  66  68  74
k=18
0  4  10  12  18  22  28  30  40  42  52  54  60  64  70  72  78  82
k=20
0  6  10  16  18  24  28  34  36  46  48  58  60  66  70  76  78  84  88  94
k=22
0  6  12  16  22  24  30  34  40  42  52  54  64  66  72  76  82  84  90  94  100  106

Но вот найденное решение для $k=20$ уже не продолжается на решение для $k=22$.
Жаль!

Итак, симметричные кортежи с минимальными диаметрами из последовательных простых чисел найдены до длины $k=20$, за исключением $k=19$.
Надеюсь, что и эта трудная задача будет решена в течение конкурса.
Если бы кто-нибудь подключился к Jarek

-- Ср сен 23, 2015 14:00:42 --

И добавлю паттерн для $k=24$ с минимальным диаметром 118, он тоже принимает эстафету от $k=22$:

0  6  12  18  22  28  30  36  40  46  48  58  60  70  72  78  82  88  90  96  100  106  112  118

[Nataly-Mak]

Для паттернов нечётных длин ---
преемственность паттернов с минимальным диаметром для $k=11, k=13, k=15$:

k=11
0 6 30 42 60 66 72 90 102 126 132
k=13
0  18  24  48  60  78  84  90  108  120  144  150  168
k=15
0  6  24  30  54  66  84  90  96  114  126  150  156  174  180

Известное решение для $k=13$ на решение для $k=15$ не продолжается.
Ну, переход к меньшей длине 11, разумеется, работает:

Select[Range[0,132],PrimeQ[660287401247651+#]&]
{0, 6, 30, 42, 60, 66, 72, 90, 102, 126, 132}

Все решения Jarek для $k=15$ с минимальным диаметром (а у него их много) автоматически дают решения для $k=11$ и для $k=13$ c минимальным диаметром.

[Nataly-Mak]

И ещё два преемственных паттерна с минимальным диаметром:

k=17
0  6  24  36  66  84  90  114  120  126  150  156  174  204  216  234  240 
k=19
0  6  12  30  42  72  90  96  120  126  132  156  162  180  210  222  240  246  252

Тут у Jarek есть шанс получить решение для $k=19$ из решений для $k=17$, которых у него уже несколько штук.
Надежда на счастливое продолжение

Хороший алгоритм: ищем кортежи с минимальным диаметром для $k=17$; ну, как ни говорите, а всё-таки для $k=17$ решения искать, наверное, легче, нежели для $k=19$.
Ищем их мн-о-о-о-го, и каждое проверяем на продолжение. Авось, повезёт.

[Nataly-Mak]

Этот симметричный кортеж из последовательных простых чисел для $k=24$, найденный Begemot82, наверное, сразу же проверила на продолжение.

22930603692243271: 0 70 76 118 136 156 160 178 202 222 238 250 378 390 406 426 450 468 472 492 510 552 558 628

Решила ещё раз проверить, а вдруг забыла тогда сразу.

Select[Range[0,800],PrimeQ[22930603692243259+#]&]
{0, 12, 82, 88, 130, 148, 168, 172, 190, 214, 234, 250, 262, 390, 402, 418, 438, 462, 480, 484, 504, 522, 564, 570, 640, 658}

Эх, как обидно: последний элемент кортежа не вписался, должно быть 652. Чуть-чуть ошибочка

Имеем КПППЧ длины 26 с одной "дыркой"

22930603692243259: 0, 12, 82, 88, 130, 148, 168, 172, 190, 214, 234, 250, 262, 390, 402, 418, 438, 462, 480, 484, 504, 522, 564, 570, 640, 652

Последнее число КПППЧ не простое.

[Nataly-Mak]

Пробую всё же в онлайн Wolfram Alpha поиск симметричного кортежа длины 15 (из последовательных простых чисел) с минимальным диаметром 180.
Мы имеем всего один теоретически возможный паттерн для такого кортежа

0, 6, 24, 30, 54, 66, 84, 90, 96, 114, 126, 150, 156, 174, 180

Формулы я показала выше, их 32 штуки. Беру первую формулу:

$10163+30030n$

Выполняю такую команду в онлайн Wolfram Alpha:

matrix(table[Select[Range[0,200],PrimeQ[(n*30030+10163)+#]&],{n,400200,400400}])

Среди 200 решений есть решение, в котором 9 совпадений с элементами паттерна:

{0, 6, 24, 84, 114, 126, 128, 150, 156, 158, 174, 186}

Но если задать, например, такую команду:

matrix(table[Select[Range[0,200],PrimeQ[(n*30030+10163)+#]&],{n,40000000,40010000}])

WA её не желает выполнять
Пишет так: POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE.
Что Google перевёл так: питание от языка вольфрама.

И ссылка там дана на этот самый WOLFRAM LANGUAGE, только я там ничего не понимаю по незнанию языка
Как, к примеру, я должна применить WOLFRAM LANGUAGE? Это возможно в том же самом режиме онлайн в том же самом месте? Или где я это должна применить?
Как применить - это уже второй вопрос. Понятно, что для это надо знать этот самый WOLFRAM LANGUAGE.

[Dmitriy40]

Надпись "POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE" есть на всех страницах с (и без) результатами, она всего лишь информирует пользователя (т.е. вас) что сайт использует в своей работе "WOLFRAM LANGUAGE", не более того. Это не ошибка и не объяснение почему он отказывается вычислять формулу.
Данный форум внизу всех страниц выводит надпись "Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group" - это ведь не значит что он отказывается показывать вам страницы форума. Это всего лишь информация об использованной технологии (phpBB в данном случае).
Вопрос знания и/или использования "WOLFRAM LANGUAGE" к отказу вычислять формулу не относится.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Powered — это ещё цветочки! Вот «Proudly powered by WordPress» — вот чего надо бояться! Гордыни!

[Nataly-Mak]

arseniiv в сообщении #1056390 писал(а):

(Оффтоп)

Powered — это ещё цветочки! Вот «Proudly powered by WordPress» — вот чего надо бояться! Гордыни!

(Оффтоп)

arseniiv
Спасибо, что осчастливили сообщением в теме, хотя бы оффтопом, который (оффтоп) я абсолютно не поняла.
Нет, нет, разъяснять не надо

[Nataly-Mak]

Прочёсывание упорно продолжаю, но только по одной программе.



Проверяется каждый 10000-й интервал длины 2 млрд. Ищутся только КПППЧ длин 16, 17, 19.
Напомню, что прочёсывание было начато с точки
100424251733629918

Пока не найдено ничего. КПППЧ длины 16 попадаются очень редко и ни одна из них квадрата не дала.
17-ок и 19-ок, разумеется, нет и в помине, даже посмотреть не на что
Ну, хоть продвижение по интервалу идёт более-менее быстро.

[Nataly-Mak]

Итак, симметричные кортежи из последовательных простых чисел длины 19 - сложная проблема! И не только с минимальным диаметром. Пока не найдено вообще ни одного решения хоть с каким-нибудь диаметром.
А вот не симметричные кортежи длины 19 из последовательных простых чисел даже с минимальным диаметром 76 - не такая уж сложная проблема, ибо существуют два тривиальных решения. Но есть и более сложные решения:

Цитата:

19. The Largest Known Prime 19-tuplets

2406179998282157386567481191 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 (28 digits, Dec 2012, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
2348190884512663974906615481 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 (28 digits, Dec 2012, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
917810189564189435979968491 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 (27 digits, May 2011, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
656632460108426841186109951 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 (27 digits, 19 Feb 2011, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
630134041802574490482213901 + d, d = 0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76 (27 digits, 9 Feb 2011, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)
{37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113}
{13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89}

Иноформация об этих кортежах есть на многих веб-страницах, например, здесь.
Я скопировала с другой страницы, эта страница у меня скопирована в компьютер, а ссылку не записала, сейчас никак не могу найти. Страница называется "Prime k-tuplets".
На ней, кроме всего прочего, есть такой полезный пункт:

Цитата:

Patterns of Prime k-tuplets
The simplest case is s(2) = 2, corresponding to prime twins: {p, p + 2}. Next, s(3) = 6 and two types of prime triplets: {p, p + 2, p + 6} and {p, p + 4, p + 6}, followed by s(4) = 8 with just one pattern: {p, p + 2, p + 6, p + 8} of prime quadruplets. The sequence continues with s(5) = 12, s(6) = 16, s(7) = 20, s(8) = 26, s(9) = 30, s(10) = 32, s(11) = 36, s(12) = 42, s(13) = 48, s(14) = 50, s(15) = 56, s(16) = 60, s(17) = 66 and so on. It is number A008407 in N.J.A. Sloane's On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

Да, обратите внимание на авторов 19-tuplets. Понятен колоссальный опыт Jarek в этом вопросе.

-- Пт сен 25, 2015 18:55:57 --

У-р-р-р-а-а-а-а!
На конкурсе новый участник!

Цитата:

Pos User Points T1 T2 T3 Last Improvement

1 Jarek 235 15 5 215 24/09/2015
2 Volja 28 28 25/09/2015
3 Natalia Makarova 4 3 1 16/09/2015

28 решений в задаче #1. Здорово!

[Begemot82]

Nataly-Mak в сообщении #1056580 писал(а):

Я скопировала с другой страницы, эта страница у меня скопирована в компьютер, а ссылку не записала, сейчас никак не могу найти. Станица называется "Prime k-tuplets".

http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktuplets.htm
Там еще результат

39433867730216371575457664399 + d, d = 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84 (29 digits, 8 Jan 2015, Raanan Chermoni & Jaroslaw Wroblewski)

который получается из рекордного 21-tuplet

[Nataly-Mak]

Begemot82
спасибо, да, эта самая страница.
Интересно: кликаешь ссылку, пишут: скачать приложение.
Вот и забыла записать ссылку, а страницу скопировала.