Линейная скорость тела запущенного от основания пропеллера

[baryshnikov]

Интересует, как вычисляется линейная скорость тела пущенного от основания пропеллера.
У меня было одно объяснение, от одного преподавателя по теормеху, но к сожалению это объяснение я потерял.
Помню, что линейная скорость тела пущенного от основания пропеллера - будет больше, чем в случае, когда тело пускается с краев пропеллера, причем в обоих случаях - угловая скорость пропеллера одинаковая.
Эквивалент получаемой линейной скорости тела запущенного от конца пропеллера вычисляется по формуле:
$V=\omega R
$\omega$ - окружная скорость пропеллера
$R$ - радиус пропеллера.
Какова формула линейной скорости тела пущенного от основания?
Наверное, там должно интегрироваться? Но как и что, не уверен.
Прикрепляю рисунки, для лучше понимания.
Это груз запускается с краев пропеллера:



А это от основания:

[Утундрий]

Влиянием тела на вращение пропеллера, для простоты, пренебрегаем. Тогда, доползя до края, тело поимеет некую радиальную скорость и точно такую же как в случае броска с края окружную. Поэтому и вот.

[levtsn]

тут будет две составляющие, радиальная скорость, полученная в потенциале центробежной силы, и скорость по касательной, когда тело сойдет с направляющей.

[baryshnikov]

Утундрий в сообщении #1055978 писал(а):

Влиянием тела на вращение пропеллера, для простоты, пренебрегаем. Тогда, доползя до края, тело поимеет некую радиальную скорость и точно такую же как в случае броска с края окружную. Поэтому и вот.

То есть Вы хотите сказать, что с края, что с основания будет одинаковая линейная скорость?

Объяснение, давалось весьма опытным преподавателем по теормеху и в объяснении запуска с основания пропеллера, у него получалось больше линейная скорость, толи в два раза толи в $\sqrt{2}$. Еще мне на словах приводили пример (в интернете не нашел) что в каком-то американском токамаке это использовалось для запуска туда на большой скорости капсулы с термоядерным топливом. И там "от основания пропеллера" запускали ее, для получения большей скорости.

[Kocmoz]

baryshnikov в сообщении #1055981 писал(а):

То есть Вы хотите сказать, что с края, что с основания будет одинаковая линейная скорость?

Вам написали, что как раз-таки разная (при запуске от центра скорость больше).

[baryshnikov]

Kocmoz в сообщении #1055985 писал(а):

Вам написали, что как раз-таки разная (при запуске от центра скорость больше).

Да-да, я просто переспросил человека, что так ли он считает.
Помню, что объяснение того термеховца меня убедили (про большую скорость от основания пропеллера), но к сожалению, я потерял бумажку с этим объяснением.

[Утундрий]

baryshnikov в сообщении #1055991 писал(а):

к сожалению, я потерял бумажку с этим объяснением.

Второе и третье сообщения темы - бумажки той суть.

baryshnikov в сообщении #1055981 писал(а):

ьше линейная скорость, толи в два раза толи в $\sqrt{2}$.

А сие уже зависит от трения.

[baryshnikov]

Утундрий в сообщении #1056011 писал(а):

Второе и третье сообщения темы - бумажки той суть.

Да-да суть вот эту я помню, в его объяснении, но с математической точки зрения, что-то сомневаюсь как.
Вот как выглядит формула из моих сомнений:
$V=\omega R+(\int\limits_{0.01}^{R}\omega RdR$)
первая $\omega R$ это скорость, которая получается когда груз оказался на краю пропеллера это суммируется с линейной скоростью, которая под интегралом. Интегрируется, то что груз перемещается, от основания до края и радиус постепенно увеличивается. Это если пренебрегать силой трения, но я сомневаюсь в этой формуле.

[Утундрий]

baryshnikov в сообщении #1056023 писал(а):

это суммируется

Только векторно.

[amon]

baryshnikov в сообщении #1056023 писал(а):

но я сомневаюсь в этой формуле.

И правильно делаете. Во вращающейся СО:

$$ \begin{align} &m\ddot{R}=m\omega^2R\\ &v(R)=\dot{R}(R)\\ &\ddot{R}=\frac{d\dot{R}}{dt}=\frac{d\dot{R}}{dR}\dot{R}=\frac{dv}{dR}v\\ &\frac{dv}{dR}v=\omega^2R\\ &v=\omega R \end{align} $$

Тогда в неподвижной СО $|v|=\sqrt{2}\omega R$, поскольку надо сложить два одинаковых перпендикулярных вектора.

[baryshnikov]

amon в сообщении #1056031 писал(а):

Тогда в неподвижной СО $|v|=\sqrt{2}\omega R$, поскольку надо сложить два одинаковых перпендикулярных вектора.

Не могли бы пояснить поподробней, как получается два перпендикулярных вектора?

[Утундрий]

Вы векторы уже проходили?

[baryshnikov]

Утундрий в сообщении #1056194 писал(а):

Вы векторы уже проходили?

векторное сложение перпендикулярных векторов я понимаю что такое и, конечно, проходил, сейчас Политех 6 курс. Понимаю, что две скорости у нас получается (радиальная и окружная) если от основания пропеллера пускаем. Но не в полной мере понимаю, откуда получается два перпендикулярных вектора, с точки зрения механики (хотя теормех тоже был).

[Утундрий]

baryshnikov в сообщении #1056214 писал(а):

Понимаю, что две скорости у нас получается (радиальная и окружная) если от основания пропеллера пускаем. Но не в полной мере понимаю, откуда получается два перпендикулярных вектора, с точки зрения механики (хотя теормех тоже был).

Я понимаю этот фрагмент так: "Я понимаю, откуда берутся два перпендикулярных вектора, но я не понимаю, откуда берутся два перпендикулярных вектора".

[baryshnikov]

Утундрий в сообщении #1056220 писал(а):

Я понимаю этот фрагмент так: "Я понимаю, откуда берутся два перпендикулярных вектора, но я не понимаю, откуда берутся два перпендикулярных вектора".

А, все понял. Векторы этих скоростей перпендикулярно направлены друг другу.



Об этом levtsn написал, но я его сразу не понял.
Сразу не понял, то что представлял себе, что обе скорости совпадают с вектором центробежной силы.