Переменное ускорение

[sagitta]

Материальная точка замедляется с модулем ускорения ($\alpha$ - положительная константа)
$ a = \alpha \sqrt{v} $
В момент времени $t = 0$ скорость точки была $v = v_0$. Найти путь, пройденный от начала $t = 0$ до остановки точки, и время от начала до остановки.
Время, наверное, нужно извлекать отсюда
$ v = v_0 - \int_0^t \alpha \sqrt{v} dt = 0 $
И здесь я не понимаю, как интегрировать, если задана только зависимость ускорения от скорости. И то же с путем, не могу двойной интеграл не взять от ускорения. Подскажите, как с этим быть?

[Ms-dos4]

sagitta
$\[\frac{{dv}}{{dt}} = a = - \alpha \sqrt v \]$
Сначала найдите скорость, отделив переменные
$\[\int\limits_{{v_0}}^v {\frac{{dv}}{{\sqrt v }}} = - \int\limits_0^t {\alpha dt} \]$
Дальше сами

[sagitta]

Ms-dos4
Да, время получается. А с путем как быть? По аналогии не выходит

[Pphantom]

sagitta в сообщении #1053395 писал(а):

Да, время получается. А с путем как быть? По аналогии не выходит

Ну, если у Вас есть зависимость скорости от времени, то получить из нее зависимость координаты (она же путь в данном случае, что очевидно) можно уже просто по определению скорости.

[sagitta]

Pphantom
А зависимость скорости от времени такая $v(t) = v_0 - \alpha \sqrt{v} * t$?

[Pphantom]

sagitta в сообщении #1053401 писал(а):

А зависимость скорости от времени такая $v(t) = v_0 - \alpha \sqrt{v} * t$?

Нет, конечно. У Вас скорость одновременно и в левой, и в правой части равенства. Надо было проинтегрировать выражение, которое написал Ms-dos4.

Кстати, умножение в формулах записывается не с помощью звездочки, а так: $v(t) = v_0 - \alpha \sqrt{v} \cdot t$. При наведении курсора мыши на формулу можно увидеть исходник.

[sagitta]

Ms-dos4
Pphantom
Вот оно что, а я туда сразу $v = 0$ подставляла, чтобы время найти. Да, теперь все получилось, спасибо.
Хорошо, буду правильно записывать.