Восстановить целую часть радикала

[Andrey A]

Члены последовательности $1,10,51,12801,210811,...$ обладают свойством $\left\lbrace \sqrt{a_n}\right\rbrace\approx \left\lbrace\pi\right\rbrace$. По нарастающей, $\left\lbrace\right\rbrace$ - дробная часть.
Как восстановить целую часть квадратного радикала из дробной, заданной с определенной точностью, если известно, что подкоренное значение - целое число? В иной формулировке задача решается с помощью непрерывных дробей, но результат оказывается в некотором смысле "слишком точным". Выше приведенную последовательность таким способом получить не удается, но можно получить хорошее приближение $\left\lbrace\sqrt{10191265429393}\right\rbrace\approx \left\lbrace\pi\right\rbrace$. Выложу позже, если не найдется идей попроще. Спасибо.

[maxal]

То есть, для заданного вещественного числа $\alpha$ нужно решить уравнение $\sqrt{m} - n = \alpha$ в целых числах $m,n$.
Переписывая $m = (n+\alpha)^2$, получаем, что $\alpha$ и $\alpha^2$ связаны целочисленным соотношением:

$$\alpha^2 + 2n\alpha + (n^2-m) = 0.$$

Есть множество алгоритмов для поиска таких соотношения.

Например, в PARI/GP можно воспользоваться функций lindep или, в случае степеней одного и того же числа, как в этой задаче, функцией algdep. Используя пример с $\sqrt{10191265429393}$, имеем:

? q = frac( sqrt(10191265429393) )
%1 = 0.14158999127174780972955238643553005622
? f = algdep(q,2)
%2 = x^2 + 6384752*x - 904017
? n = polcoeff(f,1)/2
%3 = 3192376
? m = n^2 - polcoeff(f,0)
%4 = 10191265429393

Как видим, число $10191265429393$ успешно восстановлено по дробной части его корня.

[Andrey A]

Спасибо за подробную информацию. Первая русская ссылка в Гугле по запросу PARI/GP - Ваш интерактивный курс. Хороший повод заняться программированием. Жаль только что задачу в итоге решает компьютер, хотелось самому. Она не самоцель, а скорее ключик для решения других задач. На счет $\sqrt{10191265429393}$ - там ошибка вкралась, правильно $\sqrt{313743535004}$. С $\left\lbrace\pi\right\rbrace$ совпадает минимум семь знаков, больше мне не проверить, но интересно другое - если целую часть $560128$ брать по модулю $1876252$, сохраняя дробную, то соответствующие радикалы в цепных дробях будут совпадать до $7$-го знака, а $8$-ой резко растет, и в десятичных дробях картинка, думаю, будет ухудшаться.