Радиус и интервал сходимости

[iifat]

Обожежмой, вот я уж и изобретатель термина. Да, да, признаю, я не знаю определения несуществующего термина. И степенных рядов не существует, это я, я (высыпает на голову пепельницы одну за другой) их выдумал!
Ну, таки ж вот вам, к примеру: Область определения такой функции называется интервалом сходимости

[mihailm]

iifat в сообщении #1049564 писал(а):

...к примеру: Область определения такой функции называется интервалом сходимости

Бред то зачем сюда выкладывать? Как говорится не знаешь - не лезь!

[grizzly]

ewert в сообщении #1049553 писал(а):

Нет такого термина -- "интервал сходимости".

Когда меня учили, был такой термин для степенных рядов. В английском языке вполне себе до сих пор используется:

MathWorld.Wolfram about "interval of convergence" писал(а):

In general, there is always an interval $(-R,R)$ in which a power series converges, and the number $R$ is called the radius of convergence (while the interval itself is called the interval of convergence).

Или это я не учёл какого-то контекста терминологического спора?

[Sender]

Я из школы припоминаю только круг сходимости. Похоже, вещественные степенные ряды не вводились во избежание терминологических затруднений .

[ewert]

iifat в сообщении #1049564 писал(а):

Ну, таки ж вот вам, к примеру: Область определения такой функции называется интервалом сходимости

Там вообще всё несколько грустно. Вот Вам, к примеру:

Цитата:

Если $\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$ и $\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$, то $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$;

(и что ещё забавно -- идёт это до дифференцирования).

Есть промежуток сходимости; есть область сходимости; есть круг сходимости. А вот интервала сходимости -- нет.

[Sender]

Brukvalub в сообщении #1049423 писал(а):

Определение: "Область - открытое связное множество". Выходит, точка - открытое множество?

Выходит, область определения произвольной функции - это открытое связное множество ?

[Brukvalub]

Sender в сообщении #1049643 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1049423 писал(а):

Определение: "Область - открытое связное множество". Выходит, точка - открытое множество?

Выходит, область определения произвольной функции - это открытое связное множество ?

Почувствуйте разницу: вещественные степенные ряды обязательно сходятся либо только в одной точке, либо на некотором ИНТЕРВАЛЕ (в том числе - на всей числовой оси), который является областью, но иногда они сходятся и на одном или на обоих концах этого интервала, и тогда удобно говорить о всем МНОЖЕСТВЕ сходимости ст. ряда.
А термин "область определения" функции пришел из школы, его придумали безграмотные школьные методисты, ни разу не учившие элементарной топологии.
Простим этих несчастных людей и примем столь безграмотный термин как неизбежное зло...

[grizzly]

ewert в сообщении #1049640 писал(а):

А вот интервала сходимости -- нет.

А всё-таки "interval of convergence" есть или нет?

grizzly в сообщении #1049633 писал(а):

MathWorld.Wolfram about "interval of convergence" писал(а):

In general, there is always an interval $(-R,R)$ in which a power series converges, and the number $R$ is called the radius of convergence (while the interval itself is called the interval of convergence).

[Otta]

Спор может оказаться бесконечным, поскольку в разных, в том числе уважаемых, учебных пособиях терминология разнится. Кто-то вообще определяет степенные ряды сразу в комплексном случае, кто-то определяет интервал сходимости как множество всех точек сходимости степенного ряда, - в нужных теоремах потом звучат слова типа "бесконечно диффференцируем почленно внутри интервала сходимости". Меня в свое время учили такому определению "несуществующего" (с) понятия:



(Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, Т.1, параграф 37.3)

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1049653 писал(а):

А термин "область определения" функции пришел из школы,

, и дошёл до функционального анализа, куда его нагло втащили злобные методисты, а вот теперь никто не знает, как его оттуда выгнать...

grizzly в сообщении #1049655 писал(а):

ewert в сообщении #1049640 писал(а):

А вот интервала сходимости -- нет.

А всё-таки "interval of convergence" есть или нет?

А какое отношение первое имеет ко второму?... Там даже и буковки-то по начертанию разные...

Otta в сообщении #1049667 писал(а):

кто-то определяет интервал сходимости как множество всех точек сходимости степенного ряда,

Скажите кому-то, что он ведёт себя крайне неприлично. Всё-таки "интервал" -- термин вполне жёсткий.

Чем и плох термин "интервал сходимости" -- тем, что провоцирует путаницу. Вот авторы, процитированные iifat, -- они что, не знают, что их формулировка про "область определения такой функции" тупо и тривиально неверна? Всё они знают. Просто приучены к терминологическому разгильдяйству и уже даже не замечают, когда оно переходит в фактические ошибки.

[Otta]

ewert в сообщении #1049678 писал(а):

Скажите кому-то, что он ведёт себя крайне неприлично. Всё-таки "интервал" -- термин вполне жёсткий.

Чем и плох термин "интервал сходимости" -- тем, что провоцирует путаницу. Вот авторы, процитированные iifat,...

Я правильно понимаю, что тем самым Вы согласились с тем, что термин существует?

[ewert]

Otta в сообщении #1049685 писал(а):

тем самым Вы согласились с тем, что термин существует?

Для меня -- нет. Я -- не провокатор.

[Otta]

Но как же он может быть для Вас плох, если его нет...

Ладно, в конце концов, у меня тоже есть свои предпочтения, а спор о личных предпочтениях дело бессмысленное. Спасибо за мнение.

[grizzly]

Всё же корректным образом сформулированный термин "интервал сходимости" (или "interval of convergence" в английском варианте) методически удобен при изучении степенных рядов в теории функций вещественной переменной, поскольку позволяет разделить исследование множества точек сходимости степенного ряда на две интуитивно прозрачные задачи: (А) определить интервал сходимости; (Б) рассмотреть отдельно точки на концах интервала.

Подскажите мне, пожалуйста, в какой литературе этот вопрос (определение множества точек сходимости степенных рядов в теории функций вещественной переменной) рассматривается без введения понятия "интервал сходимости". Мне было бы очень интересно расширить свой кругозор в методике преподавания.

А путаница она в головах. Обвинять в ней термины по-человечески естественно, но не справедливо.

[nnosipov]

Не понимаю, какие могут быть претензии к Кудрявцеву. Хочется говорить о множестве сходимости --- ну так и скажите, причём здесь какие-то провокации?