Определение предела

[Fortheprogress]

Здравствуйте!
Допустим , что $a$ - это точка сгущения для $X$, тогда можно извлечь из $X$ бесчисленное количество последовательностей , которые имели бы своим пределом $a$. Будьте добры, объясните смысл этого предложения, желательно с наглядным примером.
Объясните пожалуйста понятие предела основываясь на этом понятии предельной точки .

Спасибо большое)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Пожалуйста, что непонятно, то и напишите. Сами. Изображения и ссылки на изображения уберите.
Инструкции по набору формул см. - (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[grizzly]

Fortheprogress в сообщении #1038606 писал(а):

Будьте добры, объясните смысл этого предложения, желательно с наглядным примером.

Ну давайте попробую пояснить на простом примере числового множества. А Вы это по какой-то старой книжке разбираете? "Точка сгущения", "бесчисленное" -- сейчас редко используют.

Пусть наше $X$ -- подмножество $\mathbb R$. Например, такое: $X=\{\frac12, 2, \frac13, 3, \ldots; \frac1n, n\ldots\}$. Тогда существует только одна точка сгущения (ещё говорят "предельная точка" или "точка накопления") множества $X$. Это точка $a=0$. Как видите в данном примере точка сгущения не принадлежит множеству $X$, в других случаях может принадлежать. То, что точка $a=0$ является точкой сгущения, Вы должны уметь проверить по определению "точки сгущения". Сумеете?

В процессе этой проверки Вы автоматически можете получить последовательность элементов из $X$, которая стремится к $a=0.$ Сможете?

Дальше, если у Вас есть хоть одна последовательность (назовём её главной для удобства), которая сходится к $0$, то Вы можете "нагенерить" из неё бесконечное количество других последовательностей, которые все будут сходится к той же точке. Это сделать очень просто:
(1) постройте первую последовательность, выбрав (и забрав) из главной каждый второй элемент;
(2) постройте вторую последовательность, выбрав (и забрав) каждый второй элемент из того, что осталось от главной последовательности;
(...) продолжайте так бесконечно.

Пока хватит. Жду от Вас подтверждения понимания или вопросов, а также ответов на мои вопросы (желательно с аргументами).

[demolishka]

grizzly в сообщении #1038682 писал(а):

Это сделать очень просто:

А еще проще выкидывать по одному элементу

[grizzly]

demolishka
Вы правы, но пример такой я строил осознанно -- решил, что для слабо пока подкованного в предмете ТС будет лучше, если при первом рассмотрении разные последовательности в примере не будут пересекаться.

[ewert]

Fortheprogress в сообщении #1038606 писал(а):

тогда можно извлечь из $X$ бесчисленное количество последовательностей , которые имели бы своим пределом $a$. Будьте добры, объясните смысл этого предложения,

В этом конкретно предложении -- нет никакого смысла. Там имелось в виду, что какую бы последовательность ни взять, всё одно должно получаться.

Там была попытка смешать в одну кучу понятия предела по Коши и по Гейне. Вместо того, чтоб их сначала чётко развести -- а потом не менее чётко объединить. Причём второе без (и до) первого невозможно.

[Fortheprogress]

grizzly в сообщении #1038682 писал(а):

Fortheprogress в сообщении #1038606 писал(а):

Будьте добры, объясните смысл этого предложения, желательно с наглядным примером.

Ну давайте попробую пояснить на простом примере числового множества. А Вы это по какой-то старой книжке разбираете? "Точка сгущения", "бесчисленное" -- сейчас редко используют.

Пусть наше $X$ -- подмножество $\mathbb R$. Например, такое: $X=\{\frac12, 2, \frac13, 3, \ldots; \frac1n, n\ldots\}$. Тогда существует только одна точка сгущения (ещё говорят "предельная точка" или "точка накопления") множества $X$. Это точка $a=0$. Как видите в данном примере точка сгущения не принадлежит множеству $X$, в других случаях может принадлежать. То, что точка $a=0$ является точкой сгущения, Вы должны уметь проверить по определению "точки сгущения". Сумеете?

В процессе этой проверки Вы автоматически можете получить последовательность элементов из $X$, которая стремится к $a=0.$ Сможете?

Дальше, если у Вас есть хоть одна последовательность (назовём её главной для удобства), которая сходится к $0$, то Вы можете "нагенерить" из неё бесконечное количество других последовательностей, которые все будут сходится к той же точке. Это сделать очень просто:
(1) постройте первую последовательность, выбрав (и забрав) из главной каждый второй элемент;
(2) постройте вторую последовательность, выбрав (и забрав) каждый второй элемент из того, что осталось от главной последовательности;
(...) продолжайте так бесконечно.

Пока хватит. Жду от Вас подтверждения понимания или вопросов, а также ответов на мои вопросы (желательно с аргументами).

Премного благодарю . Я учу по Фихтенгольцу (основы математического анализа). Книжка примерно 70-го года, старая, но как мне показалось очень простая и понятная .
Проверить точку $a=o$ я смог из определения, как Вы и сказали. Последовательность элементов, которая стремится к $0$ - это и есть Ваше множество: $X$=$\left\lbrace\frac{1}{n}; n\right\rbrace$
То есть в данном случае предел функции и предельная точка совпадают.
По поводу других последовательностей я тоже понял, например будет $\frac{1}{n}$
Спасибо Вам большое, по поводу первого вопроса я разобрался.

[grizzly]

Fortheprogress в сообщении #1038730 писал(а):

Последовательность элементов, которая стремится к 0 - это и есть Ваше множество: $X=\left\lbrace1/n;n\right\rbrace$

Нет. Либо это невнимательность, либо непонимание. Пожалуйста, найдите у себя ошибку либо давайте прояснять.

Fortheprogress в сообщении #1038730 писал(а):

Помогите пожалуйста и со вторым

А здесь, насколько я понимаю, без Вашей помощи не обойтись. Предел можно определить по-разному и только Вы видите в книге, какое определение Вы хотите понять. Вам нужно его привести здесь, чтобы мы могли Вам помочь.

(Оффтоп)

Следите за терминологией. Нет здесь никаких функций, только последовательности, подпоследовательности и т.п.
Старайтесь использовать только одну пару долларов для одной формулы. Не нужно лишних.
Все формулы заключайте в доллары.

[Fortheprogress]

grizzly в сообщении #1038734 писал(а):

Fortheprogress в сообщении #1038730 писал(а):

Последовательность элементов, которая стремится к 0 - это и есть Ваше множество: $X=\left\lbrace1/n;n\right\rbrace$

Нет. Либо это невнимательность, либо непонимание. Пожалуйста, найдите у себя ошибку либо давайте прояснять.

Fortheprogress в сообщении #1038730 писал(а):

Помогите пожалуйста и со вторым

А здесь, насколько я понимаю, без Вашей помощи не обойтись. Предел можно определить по-разному и только Вы видите в книге, какое определение Вы хотите понять. Вам нужно его привести здесь, чтобы мы могли Вам помочь.

(Оффтоп)

Следите за терминологией. Нет здесь никаких функций, только последовательности, подпоследовательности и т.п.
Старайтесь использовать только одну пару долларов для одной формулы. Не нужно лишних.
Все формулы заключайте в доллары.

Тааак. Все, понял вроде где ошибка.
По порядку. $a=0$ предельная точка, так как если будем брать любую ее окрестность , то из множества $X$ всегда будет находиться точка , которая будет лежать в этой окрестности.
Последовательность , которая стремится к $a=0$ это $\frac{1}{n}$.
Другая последовательность это $\frac{1}{2n}$
Как я понимаю, в данном случае предельная точка и предел последовательности совпадают.

[grizzly]

Да, совсем другое дело.

Что насчёт второго вопроса? приведёте определение? Или как раз это и прояснилось?

[Fortheprogress]

grizzly в сообщении #1038745 писал(а):

Да, совсем другое дело.

Что насчёт второго вопроса? приведёте определение? Или как раз это и прояснилось?

Большое-большое Вам спасибо )

Вот по поводу второго вопроса:

Вроде как и понял , текст понятен, но ощущение ,что сути так и не уловил. Объясните пожалуйста может быть чуть-чуть подробнее.

[grizzly]

Fortheprogress
Я думаю, что могу понять Ваши затруднения. Это, конечно, тот самый случай, когда "на пальцах" (с карандашом и бумагой) объяснить было бы проще, чем просто словами / буквами. Но попробуем.

Во-первых, уточним Ваш первоначальный вопрос -- теперь это легко. Вас интересует понятие предела функции в точке, которая принадлежит области определения функции и является точкой сгущения в этой области. Интересующее Вас определение называют пределом функции по Гейне.

Начнём.
Есть область определения функции. Мы могли бы взять то же самое множество $X$ из нашего примера, но давайте на этот раз возьмём отрезок $[0;1]$ -- так Вам пока будет привычнее. И какую-нибудь функцию -- пусть для примера $f(x)=x^2$. Будем рассматривать предел в точке $x=0$, которая является точкой сгущения. Давайте брать разные последовательности аргумента $x$, сходящиеся к т. 0. Можем брать уже знакомые
(1) $\{1/n\}, n\ge 1$,
(2) $\{1/2n\}$,
(3) $\{1/3n\}$,
но не только такого вида, а вообще любые:
(4) $\{1/n^2\}$,
(5) $\{1/n^3\}$,
... какие угодно.

Теперь смотрим для каждой из этих последовательностей, как будет выглядеть последовательность $\{f(x_n)=x_n^2\}, n\ge 1$ (потому что у нас $f(x)=x^2$). Для первой:
(1f) $\{f(x_1)=1^2=1, f(x_2)=1/4, f(x_3)=1/9$...\};
(2f) $\{1/4,1/16,1/36...\}$;
...
Для остальных последовательностей я не расписываю, Вы сможете самостоятельно.

Теперь самое главное. Определение, которое Вы привели, применительно к нашему примеру говорит, что функция имеет предел в точке $x=0$, если:
какую бы мы последовательность $x_n$, сходящуюся к 0, не взяли (см. первый список), соответствующая последовательность $f(x_n)$ (второй список) будет сходится к одному и тому же значению. Оно и называется пределом функции в т.0. В нашем случае это тоже 0. Проверьте на наших последовательностях, что это так и есть.

Комментарии:
1) Учтите где-то на будущее, что это все упоминания про "списки" только для разъяснения. Последовательностей этих может быть так много, что ни в какие списки не влезут :) кроме шуток
2) Определение это не самое удобное (там будут и другие поудобнее), но где-то оно бывает полезно.

-- 19.07.2015, 23:20 --

Пробуйте сами для других функций; задавайте вопросы, если что-то неясно -- как Вы видели, с обратной связью разбираться намного проще, быстрее и, главное, надёжнее.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Ведь просили же.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.