Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений

[Brukvalub]

Вы писали:

vicvolf в сообщении #837600 писал(а):

...
Перед доказательством утверждения напомню определение алгебры событий.
Множество $P(C)$, элементами которого являются подмножества множества $C$, удовлетворяющее условиям:
1. Множество $P(C)$ содержит достоверное событие (множество С).
2. Вместе с любым событием (подмножеством), множество $P(C)$ содержит противоположное событие (дополняющее подмножество).
3. Вместе с любыми двумя событиями (подмножествами), множество $P(C)$ содержит их объединение.
...

vicvolf в сообщении #838703 писал(а):

Пусть $\Omega$ конечное множество (множество элементарных событий), $F$ - алгебра подмножеств $\Omega$ (алгебра событий).
Тогда вероятностной мерой на $(\Omega, F)$ называется функция $P$, отображающая $F$ на множество действительных чисел, обладающая следующими свойствами:
1. Для любого события $D \in F$ выполняется $P(D)\geq 0$.
2. Для любых двух событий $D_1 \in F$ и $D_2 \in F$ выполняется $P(D_1 \cup D_2)=P(D_1)+P(D_2)$.
3. $P(\Omega)=1$.

Далее вы писали:

vicvolf в сообщении #838935 писал(а):

Утверждение 2
Плотность k-кортежей на множестве $B \subseteq A^k$, определяемая по формуле (3) - $P(B)=\pi(B)/N^k$ является вероятностной мерой на конечном пространстве событий.

Доказательство
Свойство 1. Для любого события $D \in F$ выполняется $P(D)\geq 0$, так как $\pi(D) \geq 0$ и $N^k>0$.

Свойство 2. Для любых двух событий $D_1 \in F$ и $D_2 \in F$ выполняется $P(D_1 \cup D_2)=P(D_1)+P(D_2)$, если $D_1$ и $D_2$ не совместны.
На основании определения (3) $P(D_1 \cup D_2) =\pi(D_1 \cup D_2)/N^k$. (4)
Так как $D_1$ и $D_2$ не совместны, то соответствующие подмножества не пересекаются. Поэтому $\pi(D_1 \cup D_2)=\pi(D_1)+\pi(D_2)$ и на основании (4) $P(D_1 \cup D_2) =\pi(D_1 \cup D_2)/N^k=\pi(D_1)/N^k+\pi(D_2)/N^k=P(D_1)+P(D_2)$ (5).

Свойство 3. $P(\Omega)=1$. Если $\Omega=A^k$, то на основании (3) $P(A^k)=\pi(A^k)/N^k=N^k/N^k=1$. (6) ч.т.д.

Почему ваше "доказательство" в последней процитированной изаписи расходится с ранее данным вами же и процитированным мной определением?

[vicvolf]

Продолжение

Так как производящие функции (14), (15) являются аналитическими при $|z|<1$, то на основании (5), (6) для количества решений уравнения (12) справедливы формулы:

$R_s^{+}(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{a_1}...z^{a_s} dz/z^{n+1}(1-z^{a_1})...(1-z^{a_s})}$. (20)

$R_s(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{n+1}(1-z^{a_1})...(1-z^{a_s})}$.(21)

Так как производящие функции (18), (19) являются аналитическими при $|z|<1$, то на основании (5), (6) для количества решений уравнения (17) справедливы формулы:

$R_s^{+}(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{s} dz/z^{n+1}(1-z)^{s}}$. (22)

$R_s(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{n+1}(1-z)^{s}}$. (23)

-- 13.07.2015, 11:27 --
Это определение алгебры событий.

vicvolf в сообщении #837600 писал(а):

...
Перед доказательством утверждения напомню определение алгебры событий.
Множество $P(C)$, элементами которого являются подмножества множества $C$, удовлетворяющее условиям:
1. Множество $P(C)$ содержит достоверное событие (множество С).
2. Вместе с любым событием (подмножеством), множество $P(C)$ содержит противоположное событие (дополняющее подмножество).
3. Вместе с любыми двумя событиями (подмножествами), множество $P(C)$ содержит их объединение.
...

Это определение конечной вероятностной меры.

vicvolf в сообщении #838703 писал(а):

Пусть $\Omega$ конечное множество (множество элементарных событий), $F$ - алгебра подмножеств $\Omega$ (алгебра событий).
Тогда вероятностной мерой на $(\Omega, F)$ называется функция $P$, отображающая $F$ на множество действительных чисел, обладающая следующими свойствами:
1. Для любого события $D \in F$ выполняется $P(D)\geq 0$.
2. Для любых двух событий $D_1 \in F$ и $D_2 \in F$ выполняется $P(D_1 \cup D_2)=P(D_1)+P(D_2)$.
3. $P(\Omega)=1$.

Далее следует доказательство, что плотность k-кортежей является конечной вероятностной мерой.

vicvolf в сообщении #838935 писал(а):

Утверждение 2
Плотность k-кортежей на множестве $B \subseteq A^k$, определяемая по формуле (3) - $P(B)=\pi(B)/N^k$ является вероятностной мерой на конечном пространстве событий.

Доказательство
Свойство 1. Для любого события $D \in F$ выполняется $P(D)\geq 0$, так как $\pi(D) \geq 0$ и $N^k>0$.

Свойство 2. Для любых двух событий $D_1 \in F$ и $D_2 \in F$ выполняется $P(D_1 \cup D_2)=P(D_1)+P(D_2)$, если $D_1$ и $D_2$ не совместны.
На основании определения (3) $P(D_1 \cup D_2) =\pi(D_1 \cup D_2)/N^k$. (4)
Так как $D_1$ и $D_2$ не совместны, то соответствующие подмножества не пересекаются. Поэтому $\pi(D_1 \cup D_2)=\pi(D_1)+\pi(D_2)$ и на основании (4) $P(D_1 \cup D_2) =\pi(D_1 \cup D_2)/N^k=\pi(D_1)/N^k+\pi(D_2)/N^k=P(D_1)+P(D_2)$ (5).

Свойство 3. $P(\Omega)=1$. Если $\Omega=A^k$, то на основании (3) $P(A^k)=\pi(A^k)/N^k=N^k/N^k=1$. (6) ч.т.д.

Цитата:

Почему ваше "доказательство" в последней процитированной записи расходится с ранее данным вами же и процитированным мной определением?

Потому что процитированное вами в начале определение является определением алгебры событий, а в последней процитированной записи доказывается другое - что плотность k-кортежей является конечной вероятностной мерой.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1036538 писал(а):

Это определение конечной вероятностной меры.
vicvolf в сообщении #838703

писал(а):
Пусть $\Omega$ конечное множество (множество элементарных событий), $F$ - алгебра подмножеств $\Omega$ (алгебра событий).
Тогда вероятностной мерой на $(\Omega, F)$ называется функция $P$, отображающая $F$ на множество действительных чисел, обладающая следующими свойствами:
1. Для любого события $D \in F$ выполняется $P(D)\geq 0$.
2. Для любых двух событий $D_1 \in F$ и $D_2 \in F$ выполняется $P(D_1 \cup D_2)=P(D_1)+P(D_2)$.
3. $P(\Omega)=1$.

Нет, раз уж вы не понимаете определения, то хотя бы попробуйте переписать сюда учебник правильно. Кстати, что дискуссионного в переписывании из учебников определений, вдобавок, с ошибками? Вы ведете блог для неучей из старших классов средней школы, которые ленятся прочесть определение вероятностного пространства в школьном учебнике математики?

[vicvolf]

Хватит придираться к сообщениям, которым больше года и которые давно не обсуждаются! Ваш кружковый школьный опыт оставьте при себе.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1036571 писал(а):

http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node10.html
Определение 16, где свойство 2 - счетная аддитивность заменено на конечную аддитивность.
Пожалуйста, будьте конкретнее, если нашли описку или ошибку. Ваш опыт преподавания в школе оставьте при себе.

1. У Черновой все написано верно. Напрягитесь и найдите свою тривиальную ошибку самостоятельно.
2.Зачем вы ведете блог по переписыванию определений на форум, если не способны найти простейшую ошибку?
3. Свои указания , что мне у вас спрашивать, а что - нет, оставьте при себе.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #838935 писал(а):

Свойство 2. Для любых двух событий $D_1 \in F$ и $D_2 \in F$ выполняется $P(D_1 \cup D_2)=P(D_1)+P(D_2)$, если $D_1$ и $D_2$ не совместны.
На основании определения (3) $P(D_1 \cup D_2) =\pi(D_1 \cup D_2)/N^k$. (4)
Так как $D_1$ и $D_2$ не совместны, то соответствующие подмножества не пересекаются. Поэтому $\pi(D_1 \cup D_2)=\pi(D_1)+\pi(D_2)$ и на основании (4) $P(D_1 \cup D_2) =\pi(D_1 \cup D_2)/N^k=\pi(D_1)/N^k+\pi(D_2)/N^k=P(D_1)+P(D_2)$ (5).

[Lia]

vicvolf в сообщении #1036571 писал(а):

Хватит придираться к сообщениям, которым больше года и которые давно не обсуждаются! Ваш кружковый школьный опыт оставьте при себе.

vicvolf
Вы путаете жанры. Это не блог. Любой участник форума в Вашей теме обладает не меньшими правами, чем Вы. Во избежание повторения недоразумений, познакомьтесь, пожалуйста, с разделом III.3 "Дискуссионные темы" Правил форума.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #857180 писал(а):

Утверждение 7
Пусть функция $f$ иньективна на декартовом произведении множеств натуральных чисел, а переменная $x_1$ принимает все натуральные значения от 1 до N, тогда количество решений диафантового уравнения $x_2=f(x_1)$ в области $A^2$, где $A=1,2,...N$, равно $[f^{-1}(N)]$, (30) где [ ] - целое значение с недостатком.

Доказательство

Так как переменная $x_1$ по условию принимает все натуральные значения от 1 до N и функция f инъективна на декартовом произведении множеств натуральных чисел, то в данной области существует обратная функция $f^{-1}$.
В этом случае переменная $x_2$ принимает значения от $f(1)$ до $[f^{-1}(N)]$, т.е. $[f^{-1}(N)]$ значений ч.т.д.

Примеры.
Количество решений диофантового уравнение $x_2=2x_1$ в области $A^2$ на основании утверждения 7 равно $[N/2]<N$, что соответствует (24).

Количество решений диофантового уравнение $x_2=0,5x_1$ в области $A^2$ на основании утверждения 6 равно $[N/2]<N$, что соответствует (24).

Количество решений диофантового уравнение $x_2=x_1^2$ в области $A^2$ на основании утверждения 7 равно $[\sqrt{N}]<N$, что соответствует (24).

Количество решений диофантового уравнение $x_2=\sqrt(x_1)$ в области $A^2$ на основании утверждения 6 равно $[\sqrt{N}]<N$, что соответствует (24).

Сообщите, в чем "дискуссионность" или научная новизна процитированных мной ваших "глубоких изысканий"? Какие известные математики рассматривали в своих работах изученные вами здесь "диофантовы уравнения", какие трудности они не смогли при этом преодолеть, а вы - преодолели, и предлагаете нам подискутировать? Или вы ведете здесь блог для неуспевающих учеников 7-х классов средней школы?

[vicvolf]

1. В работе даны новые количественные показатели решений диофантовых уравнений и систем в области натуральных чисел: плотность и асимптотическая плотность количества решений, вероятность, что кортеж $x\in\{1,2,...,N\}^k$ является решением диофантового уравнения или системы от $k$ переменных.
2. В работе даны утверждения, доказывающие указанный основной результат для различных классов диофантовых уравнений и систем, что требует определенного объема изложения.
3. Предлагается для обсуждения основной результат работы.

Основные определения работы:

Под диофантовым уравнением от $k$ переменных понимается уравнение вида:
$F(x_1,...x_k)=0$, (1)
где все переменные принимают одновременно значения из области натуральных чисел, все коэффициенты и свободный член являются целыми числами, а степени являются натуральными числами.

Под системой диофантовых уравнений понимается система уравнений вида:
$F_1(x_1,...x_k)=0,...F_m(x_1,...x_k)=0$ (2)
где $F_i(x_1,...x_k)=0$ $i$- ое диофантово уравнение вида (1) и $1<m<k$.

Плотностью количества решений диофантова уравнения от $k$ переменных называется:
$P(B_N)=\pi(B_N)/N^k$, (3)
где $B_N$ является множеством решений диофантового уравнения от $k$ переменных на $A^k$- прямом $k$ -ом произведении множеств $A=\{1,2....N\}}$, а $\pi(B_N)$- количество решений диофантова уравнения на $A^k$.

Асимптотической плотностью количества решений диофантова уравнения от $k$ переменных называется:
$P'(B)=\lim_{N \to \infty} \pi(B_N)/N^k$, (4)
где $B$ является всем множеством решений диофантового уравнения от $k$ переменных.

Вероятность, что кортеж $x\in\{1,2,...,N\}^k$ является решением диофантового уравнения или системы от $k$ переменных. В данном случае всем множеством исходов является $A^k$ -$k$- ое прямое произведение множеств $A=\{1,2...N\}$, где $N$-натуральное, а благоприятным множеством исходов являются $k$- кортежи, у которых координаты соответствуют решениям диофантового уравнения от $k$-переменных на $A^k$, т.е. обычная геометрическая вероятность. Таким образом, указанная вероятность является плотностью количества решений диофантова уравнения от $k$ переменных и определяется по формуле (3).

Основные доказанные утверждения:

В работе рассматриваются два взаимно дополняющих класса диофантовых уравнений (1) с хотя бы одной явно выраженной переменной (существует хотя бы одно сюръективное отображение) (см. п.1) и неявно выраженными переменными.

1. Для уравнения (1) выполняются соотношения, определенные по формулам (3), (4): $\pi(B_N) \leq N^{k-1}$, $P(B_N) \leq N^{-1}$, $P'(B)=0$, если существует хотя бы одно сюръективное отображение $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1},x_{i+1}...x_k)$, где $1 \leq i \leq k$.
(сообщение от 11.07.2014 - viewtopic.php?p=886704#p886704)

В работе рассматриваются два взаимно дополняющих класса диофантовых уравнений (1) с неявно выраженными переменными: алгебраические (см. п. 2) и неалгебраические.

2. Для алгебраического диофантова уравнения $n$ -ого порядка выполняются соотношения, определенные по формулам (3), (4): $\pi(B_N) \leq n \cdot N^{k-1}$, $P(B_N) \leq n \cdot N^{-1}$, $P'(B)=0$.
(сообщение от 12.07.2014 - viewtopic.php?p=886704#p886704 с продолжением)

Среди неалгебраческих диофантовых уравнений рассматриваются показательные, логарифмические, степенно-показательные (см. п. 3). Они могут быть дополнены тригонометрическими и гиперболическими уравнениями.

Также утверждение п.3 справедливо для рациональных и иррациональных диофантовых уравнений. Поясним это.
Рациональное выражение является частным от деления алгебраических выражений и принимает натуральные значения, только тогда, когда значение числителя кратно знаменателю. Поэтому для рациональных уравнений значения количественных показателей, определенных по формулам (3), (4), $\pi(B_N), P(B_N),P'(B_N)$ не превышают соответствующие значения показателей алгебраического выражения $n$ -ого порядка, находящегося в числителе: $\pi(B_N) \leq n \cdot N^{k-1}$, $P(B_N) \leq n \cdot N^{-1}$, $P'(B)=0$.
Иррациональные выражения, содержащие радикалы от алгебраичкских и рациональных выражений имеют область определения меньше, чем у находящиеся под знаком радикала алгебраические и рациональные выражения, поэтому для них значения количественных показателей, определенных по формулам (3), (4), $\pi(B_N), P(B_N),P'(B_N)$ не превышают соответствующие значения показателей алгебраического выражения $n$ -ого порядка, находящегося под знаком радикала или под знаком радикала в числителе рационального выражения: $\pi(B_N) \leq n \cdot N^{k-1}$, $P(B_N) \leq n \cdot N^{-1}$, $P'(B)=0$.

3. Для неалгебраического диофантова уравнения значения количественных показателей, определенных по формулам (3), (4), $\pi(B_N), P(B_N),P'(B_N)$ не превышают значения показателей алгебраического диофантова уравнения $n$ -ого порядка , входящего в эквивалентную систему уравнений.
(сообщение от 04.06.2014 - viewtopic.php?p=871887#p871887)

В работе рассматриваются также системы диофантовых уравнений (2), состоящие из указанных выше классов уравнений (см. п 4).

4. Для систем диофантовых уравнений (2) на $A^k$ значения количественных показателей, определенных по формулам (3), (4), $\pi(B_N), P(B_N),P'(B_N)$ не превышают значения показателей входящих в систему алгебраических и неалгебраических уравнений (см. п.3).
(сообщение от 05.06.2014 - viewtopic.php?p=872170#p872170)

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #863238 писал(а):

Подробное рассмотрение диофантовых уравнений вида $F(x_1,...x_2)=0$ начнем с уравнения с одним неизвестным.

Пусть дано уравнение:
$a_0x^m+a_1x^{m-1}+...+a_{m-1}x+a_m=0$, (33)
где m - натуральное число, а $a_0,...a_m$ - целые числа, причем $a_m$ отлично от нуля.
Известно, что все натуральные решения уравнения (33) являются делителями свободного члена $a_m$, поэтому количество таких решений конечно. Следовательно, асимптотическая плотность решений данного уравнения равна 0 (случай 1 асимптотической плотности).

Примеры.
Уравнение $x^8+x^7+x+1=0$ не имеет решений в области натуральных чисел.

Уравнение $x^5-5x^4-3x^3+15x^2+2x-10=0$ имеет только два решения в области натуральных чисел: 1 и 5.

Перейдем к рассмотрению линейного диофантового уравнения с любым числом переменных.

В работе Серпинского "О решении уравнения в целых числах" показано, что необходимым и достаточным условием, чтобы линейное уравнение $a_1x_1+a_2x_2+...+a_kx_k=b$, (34) (где $a_1, a_2,...a_k, b$ -целые числа) было разрешимо в целых числах является то, чтобы b делился на наибольший общий делитель коэффициентов $a_1, a_2,...a_k$.

Для начала рассмотрим уравнение $a_2x_2-a_1x_1=b$, (35) где $a_1, a_2$ - натуральные числа.
В случае, если уравнение (35) разрешимо в целых числах, то b делится на наибольший общий делитель чисел $a_1, a_2$. Тогда, если $x_{10}, x_{20}$ есть решения уравнения (35), то при любом натуральном t имеем:
$a_2(x_{20}+a_1t)-a_1(x_{10}+a_2t)=b$.
Поскольку $a_1, a_2$ - натуральные числа и последовательности $x_{20}+a_1t, x_{10}+a_2t$ являются строго возрастающими, то начиная с некоторого t решения уравнения (35) являются натуральными числами.
Учитывая, что $a_1, a_2$ не менее 1, то количество решений уравнения (35) в области $A^2$, где $A=1,2,..N$ меньше N и асимптотическая плотность решений уравнения равна 0 (случай 2).

Пример.
Уравнение $2x_1-3x_2=5$ имеет следующие решения в области натуральных чисел:
$x_{10}=1, x_{20}=4$
$x_{11}=3, x_{21}=7$

Сообщите, в чем заключается "дискуссионность" и новизна процитированного мной вашего сообщения? Все изложенные вами в процитированном мной сообщении факты излагаются на уроках в математических классах средних учебных заведений, большинство из них известны хорошо успевающим ученикам 7-8-х классов неспециализированных школ. О чем и с кем вы предлагаете дискутировать? Вы ведете блог для школьного кружка?
Пока вы вместо ответов на мои недоуменные вопросы о "научном" содержании вашей "дискуссионной" темы-блога пытаетесь диктовать мне, что можно спрашивать, а что - нельзя, либо декларируете некие далекие, как полет к иным галактикам, цели.
Где же ответы на мои вопросы? Зачем эта банальщина на 7 стр.?

[Апис]

Brukvalub в сообщении #1036680 писал(а):

Сообщите, в чем заключается "дискуссионность" и новизна процитированного мной вашего сообщения?

А вы сообщите, критерии новизны сообщения и "дискуссионности". А то ваши претензии расплывчаты, сходи туда не знаю куда и принеси то не знаю что.
Критерии истины – то, что удостоверяет истину и позволяет отличить ее от заблуждения.

Цитата:

Результат нов, если он установлен впервые. По существу, а не по форме. При этом он должен быть строго обоснован и доказан.

Нет, ну как вам нравится, сказать, и сразу в карантин отправить. Вы что истина в последней инстанции, возразить не смеем. Да руководствуясь вашими критериями, нужно почти все темы отправить в карантин.

[Lia]

Апис в сообщении #1036880 писал(а):

А вы сообщите, критерии новизны сообщения и "дискуссионности".

Это очень просто, на самом деле. Результат нов, если он установлен впервые. По существу, а не по форме. При этом он должен быть строго обоснован и доказан. Как правило, именно то, насколько последнее верно, и составляет предмет дискуссии. Если же результат не нов - дискутировать не о чем.

И новизна, и тем более дискусссионность данной темы под вопросом, поскольку начиная с четвертой страницы идет нескончаемая санта-барбара про диофантовы уравнения с неизвестными предметом, целью, результатом и количеством серий. Ничего неожиданного пока не прозвучало и неизвестно когда и прозвучит ли вообще. В условиях, когда отсутствует минимальная краткая аннотация, судить о соответствии темы разделу не представляется возможным.

Просьба привести в соответствие с изложенными выше мной и другими участниками пожеланиями.

Желательно не начинать изложение с результатов уже известных или и без того очевидных, не заходить издалека, это не учебное пособие, а начать сразу с сути основного результата.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: приведена хоть какая-то аннотация

[vicvolf]

Очень благодарен Deggial за содержательные замечания к работе.
Эти замечания позволили создать аннотацию работы - viewtopic.php?p=1036672#p1036672 , где указана новизна и основные обсуждаемые вопросы.
Основным результатом работы является доказательство, что асимптотическая плотность количества решений для указанных в аннотации классов диофантовых уравнения и систем равна 0.