Задача на наклонную плоскость

[Gybkabob]

Шарик массой 100 г свободно скатывается с горки высотой 2 м, составляющей с горизонталью угол 45 градусов. Определите работу силы тяжести. Трением пренебречь.

Вообщем задачу можно решить в одну формулу, но мы не ищем лёгких путей . Решаем по формуле для работы: $A=\vec{F} \cdot \Delta\vec{r} $. Осталось только из условий выразить путь да проекцию силу тяжести. Вообщем строим чертёж:

, где $\vec{F_T}$ - вектор силы тяжести, $\vec{F_{TX}}$ - вектор проекции силы тяжести на ось ОХ, угол $\beta$ равен $\alpha$.По известному катету и иглу находим гипотенузу: $\sin \alpha=\frac{F_T}{F_{TX}}$ откуда $F_{TX} =\frac{F_T}{\sin \alpha}$. Аналогично находим путь - угол известен, катет известен: $\Delta r =\frac{h}{\sin \alpha}$.

Тогда работа: $A= \frac{F_Т}{\sin \alpha} \cdot \frac{h}{\sin \alpha} = 4$ Дж. - Векторы сонаправлены и коллинеарны, значит угол между ними 0 градусов, косинус между ними можно не писать.

Работа так же есть уменьшение потенциальной энергии значит $A=mgh=2$ Дж.

Почему первый способ неверен?

Pphantom:

Изменил заголовок темы на более содержательный.

[Munin]

Gybkabob в сообщении #1033374 писал(а):

где $\vec{F_T}$ - вектор силы тяжести, $\vec{F_{TX}}$ - вектор проекции силы тяжести на ось ОХ

Вы неправильно поняли слово "проекция". Ваш $\vec{F}_{TX}$ не проекция вектора $\vec{F}_{T}$ на $OX,$ а он сам будет давать $\vec{F}_{T}$ при проекции на вертикальную ось. Для правильной проекции прямоугольный треугольник надо нарисовать иначе, опустить высоту на наклонную линию. Тогда у вас и формула получится правильная, не $F_{TX}=\frac{F_T}{\sin\alpha},$ а $F_{TX}=F_T\sin\alpha.$

И вообще, запомните - проекция - это то, что умножено на синус или косинус, а не поделено. Соответственно, делить надо, когда вы по проекции восстанавливаете модуль исходного вектора.

-- 04.07.2015 14:37:00 --

Gybkabob в сообщении #1033374 писал(а):

Векторы сонаправлены и коллинеарны, значит угол между ними 0 градусов, косинус между ними можно не писать.

Ещё один важный момент. Вы делаете проекцию (делаете векторы сонаправленными) именно для того, чтобы не писать косинус. Надо делать одно из двух: или брать проекцию, или вспоминать про косинус. Так что, вашу формулу можно было также записать как $A=F_T\cos\beta\frac{h}{\sin\alpha}.$ Это даёт правильный ответ. А дважды вспоминать про одно и то же не нужно. Рискуете вычислить что-то неправильно. (И нуль раз - тоже не нужно.)

[DimaM]

Gybkabob в сообщении #1033374 писал(а):

скатывается

Gybkabob в сообщении #1033374 писал(а):

Трением пренебречь.

Налицо взаимоисключающие параграфы. Без трения шар будет соскальзывать, а не скатываться.

[Munin]

Тут задача, в которой не важно, скатывается или не скатывается, а соскальзывает. И ошибка проста.

[DimaM]

Munin в сообщении #1033456 писал(а):

Тут задача, в которой не важно, скатывается или не скатывается, а соскальзывает. И ошибка проста.

Тут - да. Но неверные формулировки зачастую добавляют ошибок.

[мат-ламер]

Если

Gybkabob в сообщении #1033374 писал(а):

Шарик ... свободно скатывается

то все рассуждения топикстартера в первом посту до слов

Gybkabob в сообщении #1033374 писал(а):

Работа так же есть

не верны в принципе, поскольку на шар кроме силы тяжести действует также и сила трения.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1033833 писал(а):

не верны в принципе, поскольку на шар кроме силы тяжести действует также и сила трения

Ежели скатывается без проскальзывания, то сила трения работы не совершает. Хотя формулировка в начальном сообщении отменно корявая, согласен.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1033833 писал(а):

не верны в принципе, поскольку на шар кроме силы тяжести действует также и сила трения.

А при чём здесь это? Спрашивается же про работу силы тяжести.

[OlegCh]

Если скатывается, а силой трения пренебречь, то, очевидно, имеется в виду, что надо еще учитывать энергию вращения тела, что приведет к увеличению работы силы тяжести.

[DimaM]

OlegCh в сообщении #1034355 писал(а):

Если скатывается, а силой трения пренебречь, то, очевидно, имеется в виду

Что автор задачи не думал над формулировкой. Потому что или скатывается, или силой трения можно пренебречь.

OlegCh в сообщении #1034355 писал(а):

надо еще учитывать энергию вращения тела, что приведет к увеличению работы силы тяжести

Злые языки говорят, что сила тяжести потенциальна.

[OlegCh]

DimaM в сообщении #1034375 писал(а):

Злые языки говорят, что сила тяжести потенциальна.

Ладно, поймали, сдаюсь Энергия вращения обусловлена силой трения, которой нет $\Rightarrow $ не будет и вращения.

[petrovloxnb]

Gybkabob в сообщении #1033374 писал(а):

Трением пренебречь.

Это как раз и обозначает, что трение есть,но его не надо учитывать.
Другое дело - зачем здесь (в задаче) вообще упоминание про трение?

[Munin]

OlegCh в сообщении #1034355 писал(а):

Если скатывается, а силой трения пренебречь, то, очевидно, имеется в виду, что надо еще учитывать энергию вращения тела, что приведет к увеличению работы силы тяжести.

Очевидно, не имеется в виду. Зачем вместо простой и правильной формулировки домысливать более сложную и неправильную?

[OlegCh]

petrovloxnb в сообщении #1034407 писал(а):

Другое дело - зачем здесь (в задаче) вообще упоминание про трение?

Да, действительно, не понятно. Даже если бы оно и было и если его учитывать, ответ бы не изменился.