Доказательство теоремы Кантора некорректно 2

[Skipper]

Предположим наличие пронумерованного списка всех действительных чисел, находящихся в интервале от $0$ до $1$. Эти числа представимы в виде бесконечных десятичных дробей. Некоторым рациональным числам для этого пришлось добавить бесконечное число нулей, начиная с определенного знака после запятой, или периодически повторяющиеся группы цифр.

составим еще одну бесконечную десятичную дробь в виде числа $a$, у которого первый знак после запятой отличается от первого знака после запятой для первого числа $ b_1$, второй знак отличается от второго знака для второго числа $b_2$ и далее до бесконечности. Полученная дробь не совпадает ни с одной десятичной дробью из представленного ранее списка, поскольку на одинаковых позициях стоят разные цифры. Из этого следует, что полученная дробь не входит в нумерованный список чисел.

Но по условию задачи, все действительные числа уже включены в список. Если сформировали весь список чисел с бесконечным числом знаков после запятой, то почему нового числа нет в этом списке?

Кантор делает вывод о том, что нельзя построить такой список всех действительных чисел. Но на самом деле, это противоречие можно истолковать совсем по другому. Нельзя построить даже одно такое число, которое не войдет в этот список - потому что, мы должны этот бесконечный диагональный процесс проводить бесконечно долгое время. Т.е. это доказательство невозможности точно задать вещественное число.

[grizzly]

Skipper в сообщении #1030345 писал(а):

Нельзя построить даже одно такое число, которое не войдет в этот список - потому что, мы должны этот бесконечный диагональный процесс проводить бесконечно долгое время.

Ваши выводы означают только, что Вам, вероятнее всего, близки идеи конструктивизма. Если есть желание углубиться в эту сторону, познакомьтесь с разными направлениями и выберите себе по вкусу.

Тем не менее, это не должно мешать Вам уметь работать с формальными теориями. Если набор неприятных Вам аксиом позволяет замыкать операции, проведение которых требует "бесконечно долгого времени", то Вам желательно научиться это хотя бы понимать если не использовать.

[Xaositect]

Skipper в сообщении #1030345 писал(а):

Кантор делает вывод о том, что нельзя построить такой список всех действительных чисел. Но на самом деле, это противоречие можно истолковать совсем по другому. Нельзя построить даже одно такое число, которое не войдет в этот список - потому что, мы должны этот бесконечный диагональный процесс проводить бесконечно долгое время. Т.е. это доказательство невозможности точно задать вещественное число.

С этой позиции исходный список тоже не может существовать, так как он тоже бесконечный.

[Someone]

grizzly в сообщении #1030381 писал(а):

Ваши выводы означают только, что Вам, вероятнее всего, близки идеи конструктивизма.

Не похоже. В конструктивизме (который, на самом деле, существует в довольно большом количестве вариантов) аналог теоремы Кантора тоже есть. Даже в таком строгом варианте, как советская школа конструктивизма (Н.А.Шанин, А.А.Марков — конструктивный рекурсивный анализ).

Skipper в сообщении #1030345 писал(а):

Нельзя построить даже одно такое число, которое не войдет в этот список - потому что, мы должны этот бесконечный диагональный процесс проводить бесконечно долгое время. Т.е. это доказательство невозможности точно задать вещественное число.

Это ерунда. В конструктивном рекурсивном анализе действительное число считается заданным, если его можно вычислить с любой наперёд заданной точностью. В классической математике даже этого не требуется. И никто и никогда не требует выписывать для этого бесконечную последовательность цифр.

[Skipper]

Ну тогда, можно построить такой пронумерованный список, включающий все действительные числа. Переформулируем следующую задачу по другому. Было так -

Цитата:

Предположим наличие пронумерованного списка всех действительных чисел, находящихся в интервале от $0$ до $1$. Эти числа представимы в виде бесконечных десятичных дробей. Некоторым рациональным числам для этого пришлось добавить бесконечное число нулей, начиная с определенного знака после запятой, или периодически повторяющиеся группы цифр.

составим еще одну бесконечную десятичную дробь в виде числа $a$, у которого первый знак после запятой отличается от первого знака после запятой для первого числа $ b_1$, второй знак отличается от второго знака для второго числа $b_2$ и далее до бесконечности. Полученная дробь не совпадает ни с одной десятичной дробью из представленного ранее списка, поскольку на одинаковых позициях стоят разные цифры. Из этого следует, что полученная дробь НЕ ВХОДИТ в нумерованный список чисел.

Но по условию задачи, ВСЕ действительные числа уже включены в список. Если сформировали ВЕСЬ список чисел с бесконечным числом знаков после запятой, то почему нового числа нет в этом списке?

А мы сделаем по другому. Зададим первое число из списка так - 0,000000.... с бесконечным числом нулей. Второе число в нашем списке будет таким - 0,000000....1, количество нулей тоже бесконечно! Третье число в нашем списке будет таким - 0,000000....2, количество нулей тоже бесконечно!

Задали мы эти числа? Конечно задали. Ведь по определению, как задается число?

Цитата:

Цитата:

Это ерунда. В конструктивном рекурсивном анализе действительное число считается заданным, если его можно вычислить с любой наперёд заданной точностью. В классической математике даже этого не требуется. И никто и никогда не требует выписывать для этого бесконечную последовательность цифр.

Мы же можем вычислять число 0,000000....1 с бесконечным количеством нулей, с любой наперёд заданной точностью, просто мы будем всегда получать только нули и до единички никогда не доберемся. Но действительное число мы задали. А чтобы получилась ситуация, когда новое число будет отсутствовать в нашем списке, необходимо, чтобы оно было больше чем 0,000000....1, и меньше чем 0,000000....2, т.е. чтобы оно находилось между ними. Очевидно, такого быть не может.

По определению, действительное число, это число, с бесконечной дробью. Т.к. я считаю, что в числе 0,000000....1, бесконечное количество нулей, т.е. дробь бесконечна, то это число не противоречит определению действительного числа, Это действительно число, и мы можем запретить писать что то после единички. Ввести даже такую аксиому. Она не будет давать никаких противоречий в математике. Но множество действительных чисел станет счетным.

[пианист]

(:о)

Вызывет определенное недоумение, почему именно эта теорема так возбуждает альтернативно мыслящих.
Что в ней такого, с позволения сказать, философского?

[Skipper]

Цитата:

альтернативно мыслящих

А чем такая система хуже то? Мы задаем систему аксиом, и на их основе строим математику.

Можно задать аксиомы для определения вещественного числа так -

1) вещественное число - это число, которое представимо бесконечной дробью. (ее можно всегда дополнить нулями если число рациональное, и другие цифры заканчиваются). Эта дробь задается после запятой бесконечным количество цифр (знаков), и последней цифрой, после которой запрещено добавлять другие цифры. Этот запрет ничему не противоречит - в любом случае мы можем считать знаки после запятой со сколь угодно большой точностью.

2) задать вещественное число - это значит указать способ, определить его со сколь угодно большой точностью. (значит, к примеру, число, 0,0000....1, в котором бесконечное количество нулей и единица в конце - вещественное, по определению).

3) два вещественных числа, которые неотличимы, на любом конечном промежутке цифр (знаков) после запятой, но отличаются в последнем знаке на единицу - считаются бесконечно близкими вещественными числами, между которыми не могут находится другие вещественные числа. К примеру, числа 0,0000....1, в котором бесконечное количество нулей, и 0,0000....2, в котором бесконечное количество нулей - бесконечно близкие вещественные числа.

4) Бесконечные множества цифр (знаков) после запятой, перед последним знаком (после которого запрещено добавлять другие знаки) - для всех вещественных чисел равномощны с точностью до единицы.

Из этих аксиом получится, возможно, утверждение, что множество вещественных чисел счетно.
Если система акиом непротиворечива, но возможно, в ней есть свои преимущества - и какие то проблемы математики было бы проще доказать, если пользоваться такой системой. Это как сравнивать геометрию Евклида и Лобачевского. В каждой - свои плюсы.

[venco]

Skipper в сообщении #1030474 писал(а):

А мы сделаем по другому. Зададим первое число из списка так - 0,000000.... с бесконечным числом нулей. Второе число в нашем списке будет таким - 0,000000....1, количество нулей тоже бесконечно! Третье число в нашем списке будет таким - 0,000000....2, количество нулей тоже бесконечно!

Задали мы эти числа? Конечно задали. Ведь по определению, как задается число?

Задали, и эти числа равны. С любой наперёд заданной точностью эти числа неотличимы. Вы просто указали два алгоритма получения одного и того же числа. Кстати, алгоритмы в данном случае тоже оказались одинаковыми, но они могли быть и разными, например: $\sum{\frac 1{4^k}}$ и $\sum{\frac 3{10^k}}$.

Skipper в сообщении #1030474 писал(а):

А чтобы получилась ситуация, когда новое число будет отсутствовать в нашем списке, необходимо, чтобы оно было больше чем 0,000000....1, и меньше чем 0,000000....2, т.е. чтобы оно находилось между ними.

Здесь несколько логических ошибок.
Чтобы получилось новое число, оно не обязано быть именно между конкретными двумя числами, тем более, что они - это одно и то же число (см. выше).
Список не обязательно должен быть упорядочен, и понятие "между" вообще не имеет смысла. Если вы подумаете, то поймёте, что упорядоченный список даже для рациональных чисел невозможно составить.

[Xaositect]

Так, у Вас недопонимание с определением действительного числа, так что давайте все сначала и строго. Вы написали, что вещественное число - это число, которое представимо бесконечной дробью. Что такое бесконечная дробь и что значит, что число представимо бесконечной дробью?

[Skipper]

Цитата:

Задали, и эти числа равны.

Можно и сказать "неотличимы на конечном промежутке", но не равны. Если принять за аксиому существование бесконечно близких действительных чисел, между которыми нет других действительных чисел, то у нас получится тоже непротиворечивая система.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: нечёткие формулировки, нечёткие доказательства, капслок, злоупотребление пунктуацией

Skipper
Дайте всем используемым терминам строгие определения. Например, вот такое

Skipper в сообщении #1030532 писал(а):

ну, дробь с бесконечным количеством цифр (знаков), после запятой

не годится.

Skipper в сообщении #1030497 писал(а):

Чем вот моя система аксиом хуже? Можно задать что то вроде этого -

1) вещественное число - это число, которое представимо бесконечной дробью. (ее можно всегда дополнить нулями если число рациональное, и другие цифры заканчиваются).

2) множество вещественных чисел счетно.

3) можно задать два вещественных числа так, что они будут с бесконечной дробью, но между ними не окажется других действительных чисел.

Аксиоматику попытайтесь нормально сформулировать. Сейчас аксиома 2 противоречит остальной математике. Формулировать доказываемое утверждение как аксиому с целью доказательства - нелепо.
Выпишите своё доказательство максимально чётко и полно, в одной странице.
Уберите капслок и излишнее количество вопросительных знаков.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: временно возвращено для разбора ошибок.

Skipper в сообщении #1030497 писал(а):

к примеру, число, 0,0000....1

Это - не действительное число.
Вообще, все приведённые аксиомы не являются аксиомами, а просто утверждениями (даже не гипотезами), часть из которых очевидно ложна.

Skipper в сообщении #1030497 писал(а):

4) Бесконечные множества цифр (знаков) после запятой, перед последним знаком (после которого запрещено добавлять другие знаки) - для всех вещественных чисел равномощны с точностью до единицы.

Ложь:
множество цифр числа $0,11111....$ равно $\{1\}$, множество цифр числа $0,12121....$ равно $\{1,2\}$.

Skipper в сообщении #1030497 писал(а):

1) вещественное число - это число, которое представимо бесконечной дробью. ... Эта дробь задается после запятой бесконечным количество цифр (знаков), и последней цифрой

Ложь. Нет никакой последней цифры, это Вам не ординалы.
Вы, похоже, хотите ввести новое понятие (функция на счётном ординале). Только Вы этого понять не можете.

[iifat]

(пианист)

пианист в сообщении #1030489 писал(а):

Что в ней такого, с позволения сказать, философского?

Кажущаяся простота. Теорема Кантора, Великая теорема Ферма, квадратура круга, трисекция угла — вот ведь, кажется, так просто!

Skipper, вы почему-то думаете, что если ко всем словам, начинающимся на «конеч» приписать слева три буковки б, е и с, то это простенькое действо не нарушает привычного хода вещей. А оно таки нарушает!

Deggial в сообщении #1030701 писал(а):

Вы, похоже, хотите ввести новое понятие (функция на счётном ординале)

Какое ж оно новое? Бесконечная последовательность — это оно и есть. Новое — попытка приписать к бесконечности справа ещё одну циферку

[SomePupil]

Н. Вавилов "Не совсем наивная теория множеств" recommended

[Deggial]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1030710 писал(а):

Какое ж оно новое? Бесконечная последовательность — это оно и есть. Новое — попытка приписать к бесконечности справа ещё одну циферку

Счётный ординал - это не $\omega$, это - $\omega$, $\omega +n$, $2\omega +n$, ..., $\omega\cdot\omega$, ...
Впрочем, это неважно.