Доказательство теоремы Кантора некорректно 2

[iifat]

(Оффтоп)

Deggial в сообщении #1030712 писал(а):

Счётный ординал

А, почитал немного. Действительно, всё сложнее. И действительно, неважно

[Skipper]

Цитата:

к примеру, число, 0,0000....1
Это - не действительное число.

Ну так, если исходить из обычного определения действительного числа - это не действительное число. Но я пытаюсь переопределить понятие "действительное число". В моей системе аксиом и определений - это действительное число, получается. Если количество нулей перед единицей - бесконечное.

Цитата:

Бесконечные множества цифр (знаков) после запятой, перед последним знаком (после которого запрещено добавлять другие знаки) - для всех вещественных чисел равномощны с точностью до единицы.

Цитата:

множество цифр числа $0,11111....$ равно $\{1\}$, множество цифр числа $0,12121....$ равно $\{1,2\}$.

Я имел в виду, что количество самих цифр после запятой, хотя и бесконечно, но для всех действительных чисел одинаковое с точностью до 1.

Цитата:

Нет никакой последней цифры

А почему мы не можем ввести такое правило? Оно же ничему не противоречит. Есть число, $0,00000...1$, с бесконечным количеством нулей (или других цифр), тогда мы можем написать последнюю цифру и запретить что то добавлять после нее. Эта цифра нужна для того, чтобы ввести понятие бесконечно близких действительных чисел. Задать действительное число - это задать правило, по которому мы можем вычислять его со сколь угодно большой точностью - и это правило не нарушается, только в моём определении, мы можем задать еще одну, последнюю цифру, перед которой стоит бесконечное количество знаков.

Тогда получится, что множество действительных чисел (в моём определении) - счётно.
Вообще говоря, множество действительных чисел (в любом определении), с которыми может оперировать человек - счётно. Мы можем задать любое иррациональное или трансцентентное число, к примеру $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$, или $\pi$, но как мы задаём? Мы задаем какое то правило, какие то формулы или ряды, вычисляя которые, мы получаем с любой точностью, значение любых знаков после запятой, этого числа. И в этих наших формулах все числа, которые встречаются, в конечном итоге сводятся к рациональным, а далее - даже к целым числам. Т.е. мы не можем задать такое действительное число, в определении которого, какая то часть формулы, рекурсивно не свелась бы к целому числу.

Все действительные числа, с которыми может оперировать человек, есть результат вычислений в которых так или иначе используются элементарные ф-ции и входные данные есть рациональные числа, и поскольку мн-во входных чисел и всех формул, по которым можно что-то вычислять - счетно то и мн-во возможных результатов так же счетно.

Остальные числа, можно назвать невычислимыми, и считать, что они тоже существуют, но с ними никто никогда не столкнется. Это тоже самое, что считать что существует Вселенная, которую никто не может увидеть. Проще же, считать что существуют только вычислимые действительные числа, и по моему определению, множество их - счётно.

[ewert]

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

Эта цифра нужна для того, чтобы ввести понятие бесконечно близких действительных чисел.

Добавить цифру за бесконечностью -- конечно, можно; это ровно то же самое, что добавить сбоку. И тогда у Вас каждое вещественное число окажется представленным в десяти экземплярах, бесконечно мало отличающихся друг от друга. И что?... например: зачем именно в десяти, а не в трёх?...

[arseniiv]

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

Но я пытаюсь переопределить понятие "действительное число".

Это бессмысленно, т. к. теорема Кантора более обща. Ей не важно, действительные ли у вас числа изоморфны чьему-то булеану. Она говорит обо всех булеанах разом.

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

А почему мы не можем ввести такое правило? Оно же ничему не противоречит.

Добавление последней цифры не только ничему не противоречит — оно вообще ничего не меняет. Ну заменили вы ординал $\omega$ равномощным $\omega+1$ — и что? Их булеаны также равномощны: постройте изоморфизм $2^A\to2^B$ явно, имея на руках изоморфизм $f\colon A\to B$.

-- Чт июн 25, 2015 15:39:39 --

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

Проще же, считать что существуют только вычислимые действительные числа, и по моему определению, множество их - счётно.

Вы их даже толком не определили. Да, у людей, конечно, есть понятие вычислимого действительного числа — но оно и аккуратнее, и не отменяет понятия действительного числа вообще. Классического. Не всегда вычислимого. Оно никому не мешает и никак не влияет на теорему Кантора, даже если вы его уберёте (определения — это только введение новых имён).

P. S. Хм, я опоздал, и сильно, оказывается:

Deggial в сообщении #1030701 писал(а):

Вы, похоже, хотите ввести новое понятие (функция на счётном ординале). Только Вы этого понять не можете.

[Deggial]

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

Ну так, если исходить из обычного определения действительного числа - это не действительное число. Но я пытаюсь переопределить понятие "действительное число". В моей системе аксиом и определений - это действительное число, получается. Если количество нулей перед единицей - бесконечное.

Так значит Вы просто не умеете обращаться с понятиями.
То, что Вы хотите, делается так:
Вы вводите новое понятие, допустим, "мегадействительное число". Описываете его как отображение ординала в какое-то конечное множество цифр. Далее аксиомы Ваши совершенно не нужны, они следуют из определения, если они истинны
С другой стороны, мегадействительные числа к действительным отношения не имеют. Теорема Кантора о несчётности действительных чисел остаётся истинной. Кроме того, множество мегадействительных чисел тоже несчётно, это легко доказывается тем же способом, что и теорема Кантора.
Далее можно задать отображение мегадействительных в действительные, оставляя отображение только на первом $\omega$-слагаемом в ординале. И всё.
Вычислить в каком-то смысле мегадействительное число нельзя.
Мегадействительные числа нефизичны в том смысле, что соответствующую величину измерить нельзя.
Складывать мегадействительные числа мы ещё сможем. А как их перемножать и возводить в степень? Как логарифмы брать?
Вот Вы должны примерно так писать, а сейчас у Вас ещё более бредовый и менее понятный текст.

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

Вообще говоря, множество действительных чисел (в любом определении), с которыми может оперировать человек - счётно.

Это бессмысленное высказывание.
Рассмотрим отображение $f(x)=2x$ на $\mathbb{R}$. Оно переводит любое $a$ в $2a$ для любого $a\in\mathbb{R}$. Вот я прооперировал с несчётным множеством действительных чисел: я для каждого действительного числа $a$ нашел его образ $f(a)=2a$.

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

Проще же, считать что существуют только вычислимые действительные числа

Skipper, предупреждение за невежественную формулировку. Не проще, потому что это ведёт к противоречию

[Skipper]

Цитата:

Рассмотрим отображение $f(x)=2x$ на $\mathbb{R}$. Оно переводит любое $a$ в $2a$ для любого $a\in\mathbb{R}$. Вот я прооперировал с несчётным множеством действительных чисел: я для каждого действительного числа $a$ нашел его образ $f(a)=2a$.

Я имею в виду, что задать можно только счётное количество действительных чисел.

[arseniiv]

Если вы «задаёте» их конечными строками над конечным алфавитом, то это как бы банально (да, результат будет конечным даже и не счётным, и уж тем более не несчётным) и совсем не о том.

[Deggial]

Skipper в сообщении #1030766 писал(а):

Я имею в виду, что задать можно только счётное количество действительных чисел.

Сейчас я напишу ещё 3 дурацких примера и только с 3-го раза Вы может быть сумеете нормально сформулировать то, что Вы имеете ввиду. То, что Вы имеете ввиду, формулируется не так.

В любом случае, мы так уходим от темы.

Вам стало понятно, почему теорема Кантора верна, или нет? По теме у вас вопросы есть или нет?

Skipper в сообщении #1030752 писал(а):

Остальные числа, можно назвать невычислимыми, и считать, что они тоже существуют, но с ними никто никогда не столкнется.

Константа Хайтина.
Обратите внимание на двусмысленность своего "никто никогда не столкнётся".

[Skipper]

Цитата:

Вам стало понятно, почему теорема Кантора верна

Понятно. В любом случае, она кажется парадоксальной :)

[Nemiroff]

Skipper в сообщении #1030777 писал(а):

В любом случае, она кажется парадоксальной :)

Наоборот, я бы сказал, что она утверждает интуитивно понятную вещь.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: обсуждение закончено, тема малосодержательна

[Someone]

Skipper в сообщении #1030474 писал(а):

А мы сделаем по другому. Зададим первое число из списка так - 0,000000.... с бесконечным числом нулей. Второе число в нашем списке будет таким - 0,000000....1, количество нулей тоже бесконечно! Третье число в нашем списке будет таким - 0,000000....2, количество нулей тоже бесконечно!

Задали мы эти числа? Конечно задали. Ведь по определению, как задается число?

Цитата:

Цитата:

Это ерунда. В конструктивном рекурсивном анализе действительное число считается заданным, если его можно вычислить с любой наперёд заданной точностью. В классической математике даже этого не требуется. И никто и никогда не требует выписывать для этого бесконечную последовательность цифр.

Мы же можем вычислять число 0,000000....1 с бесконечным количеством нулей, с любой наперёд заданной точностью, просто мы будем всегда получать только нули и до единички никогда не доберемся. Но действительное число мы задали. А чтобы получилась ситуация, когда новое число будет отсутствовать в нашем списке, необходимо, чтобы оно было больше чем 0,000000....1, и меньше чем 0,000000....2, т.е. чтобы оно находилось между ними. Очевидно, такого быть не может.

По определению, действительное число, это число, с бесконечной дробью. Т.к. я считаю, что в числе 0,000000....1, бесконечное количество нулей, т.е. дробь бесконечна, то это число не противоречит определению действительного числа, Это действительно число, и мы можем запретить писать что то после единички. Ввести даже такую аксиому. Она не будет давать никаких противоречий в математике. Но множество действительных чисел станет счетным.

Очень странная идея: размножить каждое действительное число в десяти экземплярах в расчёте на то, что их от этого станет меньше…