Интеграл Лебега

[winmord]

Пусть $\mu (A)< \infty$ . Доказать, что неотрицательная функция $f$ интегрируема по $A$ тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{ \infty}2^{n}\mu (A\cap f(x) \geqslant 2^{n})$
Я предполагаю, что доказывать нужно из следующего свойства интеграла Лебега: Если неотрицательная функция $\varphi$ интегрируемая на $A$, и измеримая функция $y=f(x)$ ,$x\in A$ удовлетворяют почти всюду на $A$ неравенству $|f(x)|\leqslant \varphi$, то $f$ также интегрируема на $A$. Подскажите, пожалуйста, каким образом лучше выбрать функцию $\varphi(x)$?

[Lia]

winmord
Формулы поправьте, будьте добры. Каждая должна начинаться с доллара, заканчиваться им и никаких промежуточных в середине не содержать.

-- 24.06.2015, 13:38 --

(Оффтоп)

winmord в сообщении #1030303 писал(а):

f

winmord в сообщении #1030303 писал(а):

по А т

winmord в сообщении #1030303 писал(а):

y=f(x),

оформляется тоже.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

winmord в сообщении #1030303 писал(а):

неотрицательная функция $f$ интегрируема по $A$ тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{ \infty}2^{n}\mu (A\cap f(x) \geqslant 2^{n})$

Запишите $\mu(A\cap\{f(x)\geqslant 2^{n}\})$ как $\sum\limits_{k=n}^{\infty}\mu_k$, где $\mu_k=\mu(A\cap\{f(x)\in[2^{k};2^{k+1})\})$, и поменяйте порядок суммирования.

[winmord]

ewert, огромное спасибо

[winmord]

ewert в сообщении #1030412 писал(а):

winmord в сообщении #1030303 писал(а):

неотрицательная функция $f$ интегрируема по $A$ тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{ \infty}2^{n}\mu (A\cap f(x) \geqslant 2^{n})$

Запишите $\mu(A\cap\{f(x)\geqslant 2^{n}\})$ как $\sum\limits_{k=n}^{\infty}\mu_k$, где $\mu_k=\mu(A\cap\{f(x)\in[2^{k};2^{k+1})\})$, и поменяйте порядок суммирования.

А что делать в случае, когда $f(x)<1$? Ведь в этом случае $\mu_k$ не покрывают всю область.

[ewert]

winmord в сообщении #1030303 писал(а):

Пусть $\mu (A)< \infty$ .

[winmord]

ewert в сообщении #1030986 писал(а):

winmord в сообщении #1030303 писал(а):

Пусть $\mu (A)< \infty$ .

Не совсем понимаю что из этого следует, можете пояснить? Это неравенство означает, что мера множеств, на которых функция принимает свои значения, конечна, я прав?

[ewert]

Функция подразумевается измеримой (а иначе сама исходная постановка странна). Но тогда вопрос об интегрируемости ограниченной функции по множеству конечной меры попросту не возникает.

[winmord]

ewert в сообщении #1030996 писал(а):

Функция подразумевается измеримой (а иначе сама исходная постановка странна). Но тогда вопрос об интегрируемости ограниченной функции по множеству конечной меры попросту не возникает.

А можно тогда сказать, что любая функция будет интегрируема, так как, если она меньше 1, то будет интегрируема как ограниченная функция по множеству конечной меры, а если больше 1, то будет интегрирума, так как сходится этот ряд?

[ewert]

winmord в сообщении #1031343 писал(а):

так как, если она меньше 1, то будет интегрируема как ограниченная функция по множеству конечной меры, а если больше 1, то будет интегрирума, так как сходится этот ряд?

Приблизительно так, но не буквально. Просто из функции надо вычесть её же, умноженную на характеристическую функцию множества $A\cap\{f(x)<1\}$. Эта функция интегрируема заведомо и, следовательно, её вычитание на интегрируемость или нет исходной функции никак не влияет.