Сумма бесконечного количества векторов

[VanD]

provincialka в сообщении #1027478 писал(а):

Это и была бы сумма, если считать, что $\pi$ соответствует "количеству" векторов

При рассматриваемой параметризации форма объёма будет $rd\alpha$. Таким образом, результат надо умножить на $-r$ из-за разворота векторов в противоположные стороны и того, что окружность не единичная, а радиуса $r$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1027490 писал(а):

ewert
Да это понятно! Может, хоть убоится.. ("умных слов")

Математик должен знать меру, норму и предел.

[Munin]

Побережный Александр в сообщении #1027278 писал(а):

Например, начала векторов образуют полуокружность, а их концы находятся в центре этой окружности.

А можно наоборот: концы образуют полуокружность, а начала находятся в центре этой окружности? Это понятнее, поскольку все векторы откладываются от начала координат.

А насчёт ряда и интеграла вам правильно подсказывают. Числа в бесконечном количестве складываются, когда они чему-то сопоставлены. Например, в ряду - они перенумерованы. Если нумерацию изменить - то сумма чисел может поменяться! (Не всегда, но бывает.) А в интеграле - сопоставлены точкам отрезка. Получается график, и можно определить площадь под графиком. А что если части графика можно будет двигать вправо-влево, сжимать или растягивать? Числа-то не изменятся, а изменится только сопоставление чисел точкам отрезка - и при этом изменится площадь.

[Dan B-Yallay]

Побережный Александр в сообщении #1027327 писал(а):

Моя попытка решения.
Выбираем систему отсчета в центре окружности и все начала векторов поместим в начало координат. Тогда вектора имеют вид $(r\cos{\alpha};r\sin{\alpha})$, где $r$ - длина вектора, $\alpha$ - угол между вектором и осью $X$.
Результирующий вектор $R$ имеет вид $R=(\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}rcos{\alpha}d\alpha;\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}rsin{\alpha}d\alpha)=(2r;0)$

А ничтоже Вас не сумняше, что в выбранной правой полуокружности -- бесконечно много векторов "почти параллельных" оси $x$ складываются в число $2r$?
Вам тут на меру намекают, почитайте -- это очень интересно.

[Побережный Александр]

Я понимаю, что решил не правильно. Но пока не понимаю, где именно. Видимо, интегральный переход не корректный. Надо учитывать меру, о которой изначально говорил ewert. Тогда начну сначала.
1. Выбираю систему отсчета с началом координат в центре окружности. (Можно выбрать произвольную точку плоскости, но в этой точки формулы будут проще).
2. Параллельным переносом смещаю все вектора так, чтобы их "начала" совпадали с началом координат. Никакие минусы, вроде, не должны появиться. "Концы" векторов также опишут полуокружность. Векторы описываются формулой $r=(acos{\alpha};asin{\alpha})$. Вектор описывается в декартовой системе координат, где пара чисел указывает координату "конца" вектора, при условии, что "начало" вектора находится в начале координат.
Надеюсь, рассуждения до этого места корректны.

[Munin]

Пока да. Надо только упомянуть, что в результате будет другая полуокружность. (Из двух, на которые поделена окружность.)

[Dan B-Yallay]

Побережный Александр в сообщении #1027776 писал(а):

Я понимаю, что решил не правильно. Но пока не понимаю, где именно.

Не поставленную задачу нельзя решить. Ни правильно, ни неправильно.

[ewert]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1027897 писал(а):

Munin в сообщении #1027776 писал(а):

Я понимаю, что решил не правильно. Но пока не понимаю, где именно.

Не поставленную задачу нельзя решить. Ни правильно, ни неправильно.

И даже процитировать правильно не выйдет, ибо -- какая разница-то...

[Побережный Александр]

ewert в сообщении #1027283 писал(а):

По идее, такое суммирование для начала нужно как-то определить, т.к. конечное суммирование на бесконечный случай ни разу не распространяется. Так как бы Вы его определили?.

Каждый вектор на плоскости имеет две координаты.
Значит результирующий вектор, если он существует, тоже должен иметь две координаты или два числа.
Каждое из этих чисел представляет собой сумму соответствующих координат векторов, которые суммируем.
Это я так определяю сумму бесконечного количества векторов.

В нашем случае, вторая координата равна нулю, так как имеется в наличии симметрия.
Первую координату вычисляем как сумму проекций всех векторов на ось $X$.
Проекция одного вектора имеет вид $a\cos\alpha$.
Поскольку выражение задано через угол и радиус, рассматривается полярная система координат.
Интеграл вычисляется по формуле
$\frac12\int(r(\alpha))^2d\alpha=\frac{a^2}2\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}(\cos\alpha)^2d\alpha=\frac{(\pi)a^2}4$
То есть, результирующий вектор имеет координаты $(\frac{(\pi)a^2}4;0)$.

Возможны ли такие рассуждения для определения суммы бесконечного числа векторов?

[Munin]

Возможны, только нельзя говорить "сумма". Нужно с самого начала говорить "интеграл", и указывать, по чему интегрируете.

[Evgenjy]

Побережный Александр в сообщении #1028111 писал(а):

$(\frac{(\pi)a^2}4;0)$.

Длину, стало быть, в квадратных метрах будем мерить?

[Munin]

$\int\vec{v}\,dl$ имеет размерность квадрата длины, если $\vec{v}$ и $dl$ оба в метрах.

[provincialka]

Побережный Александр
А вы для чего хотите "суммировать" ваши векторы? Что хотите получить? Каков геометрический/физический/еще какой нибудь смысл этой суммы? Если не выбран смысл, то "суммирование" можно производить бесчисленным числом способов, и ни один не будет "правильным" или "неправильным".

[Dmitriy40]

А интеграл точно правильный? И считает именно сумму векторов? Что-то сомнения гложут почему он конечный (и размерности площади, а не длины). Ведь при бесконечном количестве суммируемых так заданных векторов сумма должна уходить в бесконечность.

(Набросок доказательства)

По индукции. Была сумма $N$ векторов, добавляем к ней ещё один вектор, с углом около $0°$, это можно сделать всегда, т.к. между любыми двумя углами найдётся ещё минимум один лежащий между ними и не совпадающий ни с одним из них (радиус-вектор упирается в точку на полуокружности, лежащую между двумя другими точками - концами радиус-векторами углов). Длина такого вектора строго положительна (и почти равна $a$) и значит сумма будет увеличена на величину $\approx a$. Повторение данного процесса неограниченное количество раз для таких же малых углов (а это возможно) увеличивает сумму на $(\approx a) \cdot \infty$, т.е. бесконечность. И в данном случае размерность суммы остаётся в единицах длины, а не площади.

А интеграл как площадь чего-то там остаётся конечным, но другой размерности. Т.е. считает явно не сумму векторов, размерность которой должна оставаться размерностью длины. А считает сумму каких-то площадей. Потому и кажется неправильным в принципе (неприменимым к поставленной задаче).

(PS. Применимость)

Применить можно к хаотическим тепловым блужданиям частиц/молекул/атомов в газах или даже кристаллах (если под вектором понимать смещение узла кристаллической решётки). Если сумма останется конечной, то вероятно получится вывести формулы давления газа на стенку или поверхностной энергии кристалла. Ну это мои догадки конечно.

[ewert]

Dmitriy40 в сообщении #1028206 писал(а):

А интеграл точно правильный? И считает именно сумму векторов?

Всё в этом мире не исключено. Не исключено, что интеграл правильный (если он хоть для чего-то предназначен). И не исключено, что считает именно сумму (если известно, что подразумевается под суммой).

До тех же пор, пока ни то, ни другое не известно -- единственно правильным ответом будет: всё в этом мире не исключено.

И называется это "рондо".