Сумма бесконечного количества векторов

[Побережный Александр]

Здравствуйте уважаемы софорумники! Помогите разобраться!
Если суммируем два вектора, используем "правило параллелограмма".
Если суммируем конечное количество векторов, то результирующий вектор получим, если будем применять конечное число раз "правило параллелограмма". Но как суммировать бесконечное число векторов? Например, начала векторов образуют полуокружность, а их концы находятся в центре этой окружности.

[provincialka]

Насколько "бесконечное" множество? Счетное или несчетное?

[Побережный Александр]

Полуокружность - это счетное или несчетное множество?

[ewert]

Побережный Александр в сообщении #1027278 писал(а):

Но как суммировать бесконечное число векторов?

Задайтесь для начала более простым вопросом: как складывать бесконечное количество чисел?...

[Побережный Александр]

По идее, должны быть задействованы ряды или интегралы.

[ewert]

Побережный Александр в сообщении #1027282 писал(а):

По идее, должны быть задействованы ряды или интегралы.

По идее, такое суммирование для начала нужно как-то определить, т.к. конечное суммирование на бесконечный случай ни разу не распространяется. Так как бы Вы его определили?...

[Побережный Александр]

Наверное, результирующий вектор будет иметь координаты, которые являются интегралами проекций на каждую из осей.
То есть, чтобы получить абсциссу результирующего вектора надо интегрировать проекции всех векторов на ось Х.

[ewert]

Побережный Александр в сообщении #1027290 писал(а):

Наверное, результирующий вектор будет иметь координаты,

Наверное, рано говорить о том, что он будет иметь, пока Вы не сформулировали точного определения бесконечной суммы. И тренироваться надо начинать отнюдь не с векторов, а с кошек чисел. Вы же пока что даже и не пытались.

[provincialka]

Почему только на ось $x$? а $y$ чем хуже? Кроме того, каждое интегрирование требует выбора какой-то меры. Например, одно дело $\int\vec v dx$, а другое -- $\int\vec v ds$, где $ds$ -- элемент дуги той самой полуокружности, на которой лежат "начала" ваших векторов!

[VanD]

Думаю, так же рассуждал тот, кто придумал, как переписать закон сохранения количества движения под сплошную среду, например).

[Побережный Александр]

Моя попытка решения.
Выбираем систему отсчета в центре окружности и все начала векторов поместим в начало координат. Тогда вектора имеют вид $(r\cos{\alpha};r\sin{\alpha})$, где $r$ - длина вектора, $\alpha$ - угол между вектором и осью $X$.
Результирующий вектор $R$ имеет вид $R=(\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}rcos{\alpha}d\alpha;\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}rsin{\alpha}d\alpha)=(2r;0)$

[Evgenjy]

Побережный Александр в сообщении #1027327 писал(а):

$R=(\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}rcos{\alpha}d\alpha;\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}rsin{\alpha}d\alpha)=(2r;0)$

Это не сумма векторов, а среднее значение, умноженное на $\pi$ .

[provincialka]

Evgenjy в сообщении #1027466 писал(а):

Это не сумма векторов, а среднее значение, умноженное на $\pi$ .

Это и была бы сумма, если считать, что $\pi$ соответствует "количеству" векторов. То есть той мере, которой измеряется множество векторов.
При таком подсчете "количество" заменяется угловой величиной дуги, на которой лежат "концы" векторов.

Кстати, первоначально вы поместили на дугу "начала".. хм.. Это может привести в изменению знака.

[ewert]

Это всё бессмысленно, пока товарищ не осознает, что такое мера и зачем она нужна. В принципе. Товарищ же подобными вопросами даже и не озадачивается. Так что ...

[provincialka]

ewert
Да это понятно! Может, хоть убоится.. ("умных слов")