О математике и физике

[maximk]

http://www.youtube.com/watch?v=pm2UVo98UQ0
На 46:30 Беклемишев говорит о неполноте.
Разве теоремы Гёделя не относятся к формальной арифметике?
Причем здесь вся физика, использующая математику?

[Anton_Peplov]

Ни при чем. В физике критерий успеха - эксперимент. Модель должна объяснять результаты известных экспериментов и предсказывать новые. Откуда при этом модель взялась - не важно. Хоть во сне приснилась своему создателю. Другое дело, что на практике сны - тот еще поставщик моделей, а вот математика - инструмент удивительно мощный. А кроме того, она еще и язык, на котором эти модели излагаются. Как любит говорить Munin, математика поставляет в физику все понимание. Но все-таки критерий успешности в физике - эксперимент, метаматематические заморочки физиков нисколько не трогают.

[maximk]

Anton_Peplov, а что касается самого высказывания по поводу неполноты математики, можете прокомментировать? Лев Николаевич ошибся, перепутал с неполнотой формальной арифметики?

[Anton_Peplov]

Воздержусь. Я только начинаю изучать метаматематику, поэтому здесь боюсь сказать какую-нибудь глупость.

[arseniiv]

maximk, если бы вы пересказали (лучше записать дословно, конечно) то место и всё, что из контекста там используется, вы бы получили больше ответов от тех, кто не хочет или не может посмотреть видео.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Беседы на околонаучные темы»
Причина переноса: пока сюда, потом видео посмотрю и перемещу в более подходящий раздел

[rockclimber]

maximk в сообщении #1025719 писал(а):

Причем здесь вся физика, использующая математику?

Вот я бы вас спросил - причем здесь физика? Послушал передачу с 45:00 по 49:00 - физика только вскользь упомянута, разговор о математике идет.

[iifat]

maximk в сообщении #1025719 писал(а):

Разве теоремы Гёделя не относятся к формальной арифметике?

Насколько помню, к любой аксиоматической теории, включающей арифметику. Так что в математике нас ждёт ещё множество увлекательных аксиом. Просто другие науки, имхо, настолько полно математику не используют. Так что на физику теорема Гёделя не повлияет. Хотя как знать

[Anton_Peplov]

iifat в сообщении #1025937 писал(а):

Насколько помню, к любой аксиоматической теории, включающей арифметику.

Я уточню: к любой аксиоматической теории, включающей арифметику, и имеющей перечислимое множество аксиом. То есть существует алгоритм (алгоритм - строгое математическое понятие) такой, что множеством его входных данных является $\mathbb{N}$, а множество аксиом является множеством его выходных данных.

Это то, что я знаю твердо. Остается вопрос, что там с формальными системами, для которых такого алгоритма нет. Сам я этот вопрос не изучал, а слышал диаметрально противоположные мнения.

С одной стороны

Xaositect в этой теме писал(а):

Ну так, например, в формальных системах с неперечислимым множеством аксиом такого может и не быть. Сложность же увеличивается вместе с выразительностью и неизвестно, что быстрее.

А с другой стороны,

epros в сообщении #1024411 писал(а):

Есть мнение, что "теория с неперечислимым множеством аксиом" собственно теорией не является, ибо в такой "теории" нормальное доказательство чего бы то ни было невозможно.

Поскольку сам я в формальных системах с неперечеслимым множеством аксиом ни в зуб ногой, моего мнения не существует.

[maximk]

Ну вот Лев Николаевич говорит, что всю нынешнюю математику можно свести к 9 аксиомам теории множеств. Дак ведь можно и не сводить?

[arseniiv]

А можно не только не сводить, но сначала указать, к «9 аксиомам» какой именно теории множеств. А после этого уже аккуратно разбираться.

-- Пт июн 12, 2015 21:40:20 --

Просто само словоупотребление настораживает: именно 9, но при этом теория не указана. Это как-то не айс — можно ведь было просто ничего не говорить.

[maximk]

А разве сейчас всю математику проблемно свести к теории категорий? Да и что на счёт теоремы Гёделя?
Есть среди присутствующих тот, кто сможет пояснить, какое отношение она имеет к теории множеств?

[epros]

maximk в сообщении #1025719 писал(а):

Разве теоремы Гёделя не относятся к формальной арифметике?

К любой теории, содержащей арифметику Пеано (на самом деле, достаточно и арифметики Робинсона). Теоретическая физика, кстати, тоже содержит арифметику, а потому формально к ней теоремы о неполноте тоже относятся.

maximk в сообщении #1026630 писал(а):

Есть среди присутствующих тот, кто сможет пояснить, какое отношение она имеет к теории множеств?

Теория множеств (даже в достаточно слабых аксиоматиках типа GST) уже содержит арифметику.

[arseniiv]

maximk в сообщении #1026630 писал(а):

А разве сейчас всю математику проблемно свести к теории категорий?

То вы про множества, то про категории. Давайте уже определимся, о чём спрашивать.

maximk в сообщении #1026630 писал(а):

Есть среди присутствующих тот, кто сможет пояснить, какое отношение она имеет к теории множеств?

Хорошее. Можно категории выразить в теории множеств с аксиомой больших кардиналов (нужна, если нам не хватает «маленьких» категорий); категория множеств тоже определяется не выходя из теории категорий как категория с особыми свойствами (топос с чем-то там ещё).

[maximk]

А что означает "содержит арифметику", в каком смысле?
Если теорию категорий можно свести к теории множеств, то это уже означает, что теорема Гёделя относится и к ней (к теории категорий), верно?