Вы в который раз повторяете одно и то же не просто бездоказательное — бессмысленное утверждение.
Уважаемый iifat! Для автора достаточно, что числа натуральные, а они исчерпаны в квадратах. Для автора существует минимальная единица измерения, поэтому

, не может перескочить эту единицу, поскольку тогда

будет относится к другой тройке.

. Значит тройка

не может принадлежать множеству, где

. Это множество - само по себе. Пример 1.

,

.
Уважаемый vladlen! Но, нет минимальной единицы измерения. И соотношение чисел не может изменяться при масштабировании. Например: цифры

уменьшите в миллион раз. Разность будет одна миллионной, а соотношение как было

так и останется.
-- 10.06.2015, 21:04 -- Уважаемый, lasta! Я отвечаю на Ваш пост частично, хотя готов ответить.
Уважаемый, iifat! На Ваш пост я готов ответить, но тоже отвечу позднее. Но я решил не торопится, во-первых потому, чтобы опять не попасть впросак, как в одном из ответов lasta(е). Во-вторых потому, что я заранее подготовил сообщение, надеясь, что оно снимет часть вопросов.
Прежде, чем перейти к попытке док-ва ТФ, я попытался определить взаимозависимость между числами троек

, чтобы было от чего "плясать." А затем, пользуясь полученным результатом, использовал эти тройки, в частности для док-ва, для

-

. Я подробно останавливался на всех рациональных тройках лишь для того,, чтобы показать необъятность множества рациональных троек

, по этой-же причине я воспользовался понятием - бесконечно малые величины. (Не для того, чтобы подсчитывать крохотные изменения). Так- что с соотношением будет всё в порядке.
Далее я буду говорить только о натуральных тройках

, а если будет необходимо, то отдельно сообщать об изменениях.
Важным связующим звеном, при создании троек, служит число(коэф.)

. В этом посте будем говорить только об натуральном положительном

. Это число показывает разницу между

и

, т.е.

. Я назвал его базовым. Взяв это

за основу, определяем

. Т. е. тройка получается взаимосвязанной. Это не какое-то "сборище" тройки случайных чисел.
Выводим формулу

(1), которая служит для определения множества базовых взаимосвязанных троек и систематезирует порядок их определения. Полученные по ф-ле (1) тройки называем базовыми.
Умножая каждую базовую тройку на натуральные подобные коэф.

, получаем множество троек, подобных каждой базовой тройке. Итак: 1. Принимаем

- нат. число. 2. Принимаем

- нат. число.
3. Определяем по ф-ле (1)

. 4. Определяем по ур-нию
5. В результате получаем базовую тройку -

6. Умножаем числа базовой тройки на

, получаем бесконечное множество подобных троек.
Пример: Принимаем

,

. Определяем по ф-ле (1)

. Определяем по ур-нию

. Тройка получилась рациональной.
Умножаем числа этой базовой тройки на

, получаем натуральную подобную
тройку -

. Здесь,

. Умножаем числа этой подобной
тройки на 2; 3; 4 и т.д., получим, например при

: (2553; 1260; 2847). Обратите внимание: здесь -

.
Всё это я делал лишь для того, чтобы иметь возможность сравнивать тройки

с тройками

, принимая

,

. В этом случае коэф.

или

будет одним и тем же и для

и для

.
Этот пост я отправляю Вам только для того, чтобы исключить недопонимание. Если окажется, что он Вам не нужен, то прошу меня
извинить, тем более, что я потратил моё время.