Функан.Продолжение функционала. Теорема Хана-Банаха.

[Dimitrij]

Господа, Мне очень нужна ваша помощь в решении одной задачки.

Дан положительный функционал $F$ на $C^{\infty}[0,1]$(то есть такой, что $F(\varphi) \ge 0 $ при $\varphi \in C^{\infty}, \varphi \ge 0 $ на [0,1]). Показать, что его можно продолжить до непрерывного функционала, действующего на пространстве $C[0,1]$ со стандартной нормой.

Я немного кэп, и вот чего надумал, что можно использовать теорему Хана-Банаха. Но до нее, надо доказать, что этот функционал непрерывен. Вот с чего начать доказательство? Чем пользоваться, что знать, примерный эскиз хоть подскажите. Спасибо за то, что прочитали мое собщение и за помощь.

[g______d]

$F(\|\varphi\|\cdot 1-\varphi)\ge 0$, откуда ...

[Lia]

(бу-бу-бу)

А вот линейности-то нам никто и не обещал.

[g______d]

Нет линейности — нет и мультиков ограниченности (по крайней мере, а приори).

[Lia]

Дык на что и намекаю ))

[Oleg Zubelevich]

теорема Хана-Банаха не нужна ,все проще гораздо

[Dimitrij]

g______d
Он не линеен, как же с помощью той оценки то сделать?
Oleg Zubelevich
Поделитесь мыслью, если вам не сложно)

[g______d]

Dimitrij в сообщении #1019292 писал(а):

Он не линеен, как же с помощью той оценки то сделать?

А каков он? У него есть хоть какие-то свойства, кроме положительности? Или он просто переводит положительные функции в совершенно произвольные числа? Если последнее, то он легко может оказаться не непрерывным.

[Oleg Zubelevich]

Dimitrij в сообщении #1019292 писал(а):

Он не линеен

а если так, то почему Вы применяете теорему Хана-Банаха?

[Evgenjy]

$F(\varphi) = 0 $ при $\varphi = 0 $ и $F(\varphi) = 1 $ в остальных случаях. Можно ли данный функционал продолжить до непрерывного на $C[0,1]$?

[Dimitrij]

Господа, я уточнил задачу, функционал линеен, тогда да, по той оценки получаем непрерывность, а по теореме Хана-Банаха продолжаем его. Всем спасибо за внимание.

[g______d]

Dimitrij в сообщении #1019666 писал(а):

по теореме Хана-Банаха продолжаем его

Oleg Zubelevich намекал, что есть такая вещь, как продолжение по непрерывности.