ТФКП. Равномерная сходимость ФП

[Jiggy]

Задача следующая.
Доказать, что если последовательность такова, что $\left\lbrace f_n(z)\right\rbrace$
1) аналитичны в $D$;
2) В некоторой точке $z_0$ из области $D$ $f_n(z_0) \to 0$ ;
3) $\operatorname{Re}(f_n(z))$ сходится равномерно к нулю в $D$;
То $\left\lbrace f_n(z)\right\rbrace$ сходится к нулю равномерно

Мне кажется, что нужно показать равномерную сходимость мнимых частей. Пытаюсь провести оценку для последовательности мнимых частей, используя имеющиеся данные. Пытался оценить используя условие Коши-Римана, связав действительные и мнимые части функции хотя бы на уровне производных, т.е. оценить $\left\lvert v_n(x, y) \right\rvert$ как сумму интегралов от частных производных $v_n(x, y)$ по $x$ и по $y$. Не могу оценить любым малым эпсилоном, помогите!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Brukvalub]

Jiggy в сообщении #1018259 писал(а):

Пытался оценить используя условие Коши-Римана, связав действительные и мнимые части функции хотя бы на уровне производных

Это трезвая идея. Вещ. и мнимая части аналитической функции - гармонические функции. По условию, вещ. часть равномерно сходится к 0, поэтому, из ее гармоничности, к 0 равномерно сх. и любая ее частная производная, тогда из условия Коши-Римана, равномерно сх. к 0 и первая частная производная по любой переменной от мнимой части. Отсюда осталось вывести равномерную сходимость к 0 самой мнимой части (можно использовать ее гармоничность). Ну, и где же здесь нам поможет наличие точки, в кот. сама функция сх. к 0?

[Padawan]

Мне кажется, равномерной сходимости в $D$ может не быть. Точно будет равномерная сходимость внутри $D$, т.е. на любом компакте $K\subset D$.

[Brukvalub]

Padawan в сообщении #1018796 писал(а):

Мне кажется, равномерной сходимости в $D$ может не быть. Точно будет равномерная сходимость внутри $D$, т.е. на любом компакте $K\subset D$.

Конечно, я предлагал именно схему доказательства равномерной сходимости внутри области, проглядев, что в задании пропущено слово "внутри"!

[Padawan]

Padawan в сообщении #1018796 писал(а):

Мне кажется, равномерной сходимости в $D$ может не быть.

Простой контрпример: последовательность конформных отображений $f_n\colon D\to G_n$, где $G_n=\{x+iy\mid -\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}, -1<y<1\}$.

[sup]

Есть совсем простой пример $f_n(z) = \frac {i\ln z}{n}$ в верхнем полукруге (с нулем на границе).