Переменная объёмная плотность внутри шара

[PhysicGuy]

Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра по закону $\varphi = ar^2 + b$, где $a $ и $b$ — постоянные. Найти распределение объемного заряда $p(r)$ внутри шара.
Известно, что $E=-grad\varphi = -\frac{d\varphi}{dr}=-2ar$. Согласно теореме Гаусса $4 \pi \cdot r^2\cdot E=\frac{Q}{\varepsilon_0}$. Обычно $\rho=\frac{Q}{V}$, но так как у нас неоднородно заряжен, то $p$- не постоянная. В связи с этим возникает вопрос о нахождении этой $\rho$. У нас имеется шар. Напряженность зависит от радиуса, то есть надо взять маленькую часть сферы, но как привязать найденную формулу к $dr$?

[Ms-dos4]

PhysicGuy
Берёте одно из уравнений Максвелла и определение поля
$\[\left\{ \begin{array}{l} \nabla \vec E = 4\pi \rho \\ \vec E = - \nabla \varphi \end{array} \right.\]$
Отсюда получаете
$\[{\nabla ^2}\varphi = - 4\pi \rho \]$
Теперь расписываете Лапласиан в сферических координатах, учитывая, что $\[\varphi = \varphi (r)\]$ уравнение сильно упроститься. Далее уже подставляете конкретную зависимость и решаете.
P.S.Система СГС

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы и отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[мат-ламер]

PhysicGuy в сообщении #1017942 писал(а):

но так как у нас неоднородно заряжен,

А с чего бы это вдруг? Точнее: а почему бы и нет?

[Sender]

PhysicGuy, а вот если бы у вас было задано $\rho$, зависящее только от расстояния до центра, какой заряд содержался бы в шаре радиуса $r$?

[мат-ламер]

Sender в сообщении #1018220 писал(а):

PhysicGuy, а вот если бы у вас было задано $\rho$, зависящее только от расстояния до центра, какой заряд содержался бы в шаре радиуса $r$?

Вопрос ещё надо упростить - какой заряд содержится в шаре радиуса $r$?

[Munin]

мат-ламер
Это не упрощение. Это либо тот же вопрос, либо более общий, и потому некорректный. Но по формулировке не ясно. То есть, это попросту неясный и неудачный вопрос.