О мощности множества области значений функции

[alex_dorin]

Xaositect в сообщении #1014892 писал(а):

У Есенина-Вольпина все верно. Без аксиомы выбора существуют два множества $A$ и $B$ такие, что
1) существует инъекция $A\to B$
2) существует сюръекция $A\to B$
3) не существует биекции между $A$ и $B$.

Где об этом можно почитать ?
Как же тогда определить равномощность 2-х множеств в том числе и для случая без аксиомы выбора ?

[Anton_Peplov]

alex_dorin в сообщении #1014952 писал(а):

Как же тогда определить равномощность 2-х множеств в том числе и для случая без аксиомы выбора ?

Равномощность во всех случаях устанавливается существованием биекции.
Отсутствие аксиомы выбора означает существование несравнимых мощностей. Т.е. найдутся множества $A$ и $B$ такие, что мощность $A$ не равна, не меньше и не больше мощности $B$.

[alex_dorin]

Anton_Peplov в сообщении #1014955 писал(а):

Отсутствие аксиомы выбора означает существование несравнимых мощностей. Т.е. найдутся множества $A$ и $B$ такие, что мощность $A$ не равна, не меньше и не больше мощности $B$.

Наверное это касается только бесконечных множеств ?
Для сравнения мощностей конечных множеств, наверное, всегда можно обойтись без аксиомы выбора ?

[Anton_Peplov]

Разумеется. Мощность конечного множества - это просто число его элементов. Всегда можно пересчитать.

[alex_dorin]

Таким образом, если к аксиомам ZFC добавить утверждение -
"Существует функция с мощностью области значения строго большей мощности определения"
получим противоречивую систему ?

[Nemiroff]

alex_dorin в сообщении #1014963 писал(а):

Наверное это касается только бесконечных множеств ?

И сверху: если $X$ не более чем счётно, то $f(X)$ не более чем счётно.

[NSKuber]

alex_dorin в сообщении #1015402 писал(а):

"Существует функция с мощностью области значения строго большей мощности определения"
получим противоречивую систему ?

Да, своим первым постом в теме я доказал, что из ZFC выводится утверждение "У любой функции мощность области значения не превосходит мощности области определения", которое противоречит написанному вами.