Планиметрия повышенной трудности

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Разъясните, плз, решение з-чи:

Внутри равнобедренного треугольника $\Delta ABC $ с основанием ВС и углом $\angle BAC = 80°$ взята такая точка М, что углы $ \angle MBC = 30°, \angle MCB= 10°$. Найдите угол $\angle AMC $.
Решение нашел в инете:


Решение мне понятно. Не понятно из каких соображений автор выполняет действия из 1-го абзаца,где выполняет построение высоты. Это такой общий подход? Или есть какая-то известная теорема, где применяется этот метод? Поясните плз

[grizzly]

Stensen в сообщении #1013427 писал(а):

Не понятно из каких соображений автор выполняет действия из 1-го абзаца,где выполняет построение высоты. Это такой общий подход? Или есть какая-то известная теорема, где применяется этот метод? Поясните плз

Скажу, как я это понимаю. Действительно есть такой общий метод решения геометрических задач -- метод дополнительных построений. Речь, конечно же, не идёт только о построении высоты. Дополнительные построения могут быть самые разные: параллелограммы, окружности, касательные, продолжения имеющихся отрезков до их пересечения, любые именные линии геометрических фигур и т.д. Главная цель этих построений -- получить объект с каким-то новым свойством или с новой связью между уже имеющимися на рисунке отношениями.

Какие построения в каких случаях использовать -- вопрос скорее творческий. С опытом вырабатывается навык и чутьё. Использовать построения нужно, если Вы взяли из рисунка задачи всё, что могли, но не можете найти нужных данных (например, выразили все углы через один параметр, и нет способа найти сам параметр).
Из общих рекомендаций могу посоветовать только две:
В простых случаях: перебирая разные варианты возможных построений, начинайте с самых простых и напрашивающихся (высоту провести проще, чем описанную окружность), только потом переходите к более сложным.
В сложных случаях: попытайтесь разгадать, каким образом автор задачи мог подобрать нужные условия задачи, чтобы получить "красивый ответ".

[Stensen]

Спасибо за ответ.
Может посоветуете полезную литературу по планиметрии? Я поясню, что хотел бы найти.
Разбирался со стереометрией и наткнулся на очень внятную и полезную книгу Яковлева "Стереометрия. Многогранники", где решение задач излагается именно так, как я бы хотел, с разбивкой по классам однотипных задач и рассмотрением методов их решения - почти алгоритмы.
Как я уже понял, в планиметрии все сложнее. Но если знаете что-нибудь подобное из планиметрии, хотя бы приблизительно, посоветуйте, плз.