Доказать, не опираясь на аксиому выбора(и экв. ей утв.)

[IvMig]

Пусть $(X, \leqslant)$ - частично упорядоченное множество такое, что любое его линейно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью. Доказать, не опираясь на аксиому выбора (и эквивалентные ей утверждения), что всякое отображение $f: X \to X$, удовлетворяющее условию $\forall x \in X x\leqslant f(x)$, обладает неподвижной точкой (т. е. $f(x_0)=x_0$).
Мой ход рассуждения следующий: $X=X_c \bigcup X_n $, где $X_c$- множество элементов, которые с кем-то сравниваются, $X_n$- элементы, которые сравниваются сами с собой. Если $X_n$ не пустое множество, то ответ очевиден. Иначе $X=X_c$ и $X$- линейно упорядоченно. Далее я теряюсь в догадках, так как даже если грань для подмножества есть, то она необязательно принадлежит этому подмножеству, а аксиому выбора использовать нельзя. Может как-то по-другому надо подходить?

[NSKuber]

IvMig в сообщении #1011226 писал(а):

Иначе $X=X_c$ и $X$- линейно упорядоченно.

Из того, что любой элемент в ч.у.м. сравним с каким-то отличным от себя самого, не следует линейная упорядоченность множества. К примеру, множество натуральны чисел с отношением делимости в качестве частичного порядка.

[Dan B-Yallay]

Максимальный элемент куда будет отображаться?

[IvMig]

Dan B-Yallay в сообщении #1011265 писал(а):

Максимальный элемент куда будет отображаться?

Какой?

NSKuber в сообщении #1011233 писал(а):

IvMig в сообщении #1011226 писал(а):

Иначе $X=X_c$ и $X$- линейно упорядоченно.

Из того, что любой элемент в ч.у.м. сравним с каким-то отличным от себя самого, не следует линейная упорядоченность множества. К примеру, множество натуральны чисел с отношением делимости в качестве частичного порядка.

Да, вы правы, я понял

-- 04.05.2015, 21:48 --

Нашел, есть в книге Данфорд Н. Шварц Дж. Т. "Линейные операторы. Том 1. Общая теория" 1962 г. на 15 стр. Ссылка на книгу: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mat ... rators.htm
Там и остальные тома есть, если кому интересно

[NSKuber]

Dan B-Yallay в сообщении #1011265 писал(а):

Максимальный элемент куда будет отображаться?

C леммой Цорна-то каждый дурак сможет, но низя.

[IvMig]

IvMig в сообщении #1011271 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #1011265 писал(а):

Максимальный элемент куда будет отображаться?

Какой?

NSKuber в сообщении #1011233 писал(а):

IvMig в сообщении #1011226 писал(а):

Иначе $X=X_c$ и $X$- линейно упорядоченно.

Из того, что любой элемент в ч.у.м. сравним с каким-то отличным от себя самого, не следует линейная упорядоченность множества. К примеру, множество натуральны чисел с отношением делимости в качестве частичного порядка.

Да, вы правы, я понял

-- 04.05.2015, 21:48 --

Нашел, есть в книге Данфорд Н. Шварц Дж. Т. "Линейные операторы. Том 1. Общая теория" 1962 г. на 15 стр. Ссылка на книгу: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mat ... rators.htm
Там и остальные тома есть, если кому интересно

Не то доказательство. Дело в том, что в книге точная верхняя грань есть просто верхняя грань(на 14 стр), а в задаче верхняя грань понимается как мажоранта...