2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Предел функции двух переменных.
Сообщение04.05.2015, 17:30 
Установить существование следующих пределов.

1) $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\displaystyle\lim_{r\to 0}\dfrac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}=\sin\varphi\cos\varphi$

Так как значение предела зависит от угла, то предел не существует (потому как, если он есть, то он единственный)

2) $$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{y^2-x}{x^2+y^4}=\displaystyle\lim_{r\to 0}
\dfrac{r(r\sin^2\varphi-\cos\varphi)}{r^2(\cos\varphi+r^2\sin^2\varphi)}=
\displaystyle\lim_{r\to 0}
\dfrac{-\cos\varphi)}{r\cos\varphi}=+\infty$$

Если предел равен бесконечности, то он считается, что существует или нет?

Вычисления верны или нет?

Где можно почитать про вычисления пределов функции двух переменных?

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение04.05.2015, 17:38 
Аватара пользователя
2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение04.05.2015, 17:40 
Аватара пользователя
1) - верно, 2) - нет. Нет развитой техники "вычисления пределов функций нескольких переменных", обычно все ограничивается разбором нескольких примеров для осмысления разницы одномерной и многомерной баз.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение04.05.2015, 17:41 
svv в сообщении #1011205 писал(а):
2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

Не очень понятен вопрос)) $r$ будет уменьшаться, а с углом какая-то странная шутка будет происходить)

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение04.05.2015, 17:41 
svv в сообщении #1011205 писал(а):
2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

Не очень понятен вопрос)) $r$ будет уменьшаться, а с углом какая-то странная шутка будет происходить)

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение04.05.2015, 17:49 
Аватара пользователя
integral2009 в сообщении #1011208 писал(а):
svv в сообщении #1011205 писал(а):
2) Что получится, если приближаться к $(0,0)$ по параболе $y^2-x=0$ ?

Не очень понятен вопрос)) $r$ будет уменьшаться, а с углом какая-то странная шутка будет происходить)
Так вы от полярных координат оторвитесь и станьте роднее дедушке Декарту.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение04.05.2015, 18:12 
Аватара пользователя
Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение05.05.2015, 13:47 
ИСН в сообщении #1011222 писал(а):
Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

Что вы понимаете под направлением? Прямую линию? "По направлению параболы" звучит вроде неплохо.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение05.05.2015, 15:07 
Аватара пользователя
При чём тут я. Вопрос - что понимают под этим люди, только что узнавшие концепцию многомерного предела. Понять, что может быть ситуация "по направлению параболы", обычно требует некоторого умственного усилия.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение05.05.2015, 19:18 
Аватара пользователя
Hymilev в сообщении #1011439 писал(а):
ИСН в сообщении #1011222 писал(а):
Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

Что вы понимаете под направлением? Прямую линию? "По направлению параболы" звучит вроде неплохо.

Здесь можно обратить внимание, что в точках вида $(z, z^2)$ эта функция всегда равна в точности $\frac{1}{2}$, при стремлении же к нулю иным образом предел нулевой.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение05.05.2015, 19:56 
Аватара пользователя
Hasek в сообщении #1011528 писал(а):
в точках вида $(z, z^2)$ эта функция всегда равна в точности $\frac{1}{2}$, при стремлении же к нулю иным образом предел нулевой

Будет ли иным стремление вдоль иной параболы?

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение05.05.2015, 20:52 
Аватара пользователя
bot в сообщении #1011561 писал(а):
Hasek в сообщении #1011528 писал(а):
в точках вида $(z, z^2)$ эта функция всегда равна в точности $\frac{1}{2}$, при стремлении же к нулю иным образом предел нулевой

Будет ли иным стремление вдоль иной параболы?

По другим параболам стремится к нулю так же.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение05.05.2015, 22:31 
Аватара пользователя
Если для точек, не лежащих на оси ординат, ввести $p=\frac y {x^2}$, то
$\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}=\dfrac{p}{1+p^2}$
Теперь устремим $x$ и $y$ к нулю так, чтобы $p$ оставалось постоянным.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение06.05.2015, 01:27 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1011618 писал(а):
Если для точек, не лежащих на оси ординат, ввести $p=\frac y {x^2}$, то
$\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}=\dfrac{p}{1+p^2}$
Теперь устремим $x$ и $y$ к нулю так, чтобы $p$ оставалось постоянным.

Понял свою ошибку. Спасибо.

 
 
 
 Re: Предел функции двух переменных.
Сообщение08.05.2015, 04:13 
ИСН в сообщении #1011222 писал(а):
Вообще это плохой пример. Хороший - скажем, такой: $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$. По любому направлению предел - ноль. Но предел не ноль!

Вот здесь по направлению $y=x^2$ будет $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0;0)}\dfrac{x^4}{x^4+x^4}=0,5$

То есть выбирается обычно удобное направление или как, почему именно по параболе?

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group