Капля воды в сосуде с насыщенным паром

[SkyTo]

Каплю воды с начальным радиусом $r_{0}$ бросают с начальной скоростью $v_{0}$ в сосуд с насыщенным паром, скорость движения частиц в котором много больше $v_{0}$. $\frac{dm}{dt}$=$\alpha$S$, где $\alpha$ - константа, $S$ - площадь поверхности капли в данный момент (сфера). Найти $v(r)$.
Таким образом нужно решить дифур

$\frac{d(mv)}{dt}=mg$.

Решаем

$vS\alpha+ma=mg,$

$v'+\frac{3\alpha}{r\rho}v=g$.

Решение однородного

$v=C(r)r^\left{\frac{-3\alpha}{\rho}\right}$.

Общее решение

$v=Cr^ \left{ \frac{-3\alpha}{\rho} \right} + \frac{gr}{\frac{3\alpha}{\rho}+1}$.

Учитывая

$v_{0}=Cr_{0}^\left{\frac{-3\alpha}{\rho}\right}+\frac{gr_{0}}{\frac{3\alpha}{\rho}+1}$,

получаем

$v=v_{0}(\frac{r_{0}}{r})^\left{\frac{3\alpha}{\rho}\right}-\frac{gr}{\frac{3\alpha}{\rho}+1}((\frac{r_{0}}{r})^\left{\frac{3\alpha}{\rho}+1\right}-1)$.

Во всех предложенных ответах непонятно почему у $r$ степень $-3$ вместо той, что получилась у меня $(\frac{\alpha}{\rho}=\frac{dr}{dt}=1?)$

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса:
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вернул.