Формула Стокса

[MestnyBomzh]

ну да, это то понятно. Что такой прием можно делать только на циилндрической поверхности, а контур полностью расположен на ней, так что это рав-во выполнено в данном случае.
Я так понимаю, что и этот интеграл будет нулем, в силу нечетности, опять же?

[svv]

MestnyBomzh в сообщении #1001277 писал(а):

такой прием можно делать только на циилндрической поверхности

На всякий случай уточню: допустим, мы интегрируем не по части цилиндрической поверхности, а по той страшно кривой и несимметричной поверхности, про которую я говорил выше. Ну, от которой требуется только, чтобы она опиралась на контур. Это может быть неудобно, но это допустимо.
Тогда после трюка, который я показал, значение $\nabla\times\vec F$ на такой поверхности не будет иметь ничего общего с первоначальным, но результат по-прежнему будет правильным.

MestnyBomzh в сообщении #1001277 писал(а):

Я так понимаю, что и этот интеграл будет нулем, в силу нечетности, опять же?

Нет. Дело в том, что Вы смотрите только на подинтегральную функцию $y|y|$. Она действительно меняет знак при смене знака $y$. Но ещё есть $dz$. Если смотреть на контур со стороны положительной полуоси $Ox$, он при интегрировании обходится против часовой стрелки. И при $y>0$ координата $z$ растет, и $dz>0$, а при $y<0$ координата $z$ убывает, и $dz<0$.
Так что всё это хозяйство оказывается уже чётным относительно $y$.

[svv]

На рисунке ось $Ox$ направлена к нам.

Заменим интеграл по зеленому контуру суммой интегралов по красному контуру и по синему контуру. Это получится в точности то же, потому что в каждом из двух новых интегралов вклад участков с $y=0$ (на рисунке выглядят вертикальными) равен нулю — там подынтегральная функция $=0$.

Из сказанного ранее ясно, что можно найти интеграл по красному контуру и потом умножить на $2$.

А на красном контуре $y\geqslant 0$, поэтому мы совершенно законно вместо пугающего $y|y|$ пишем $y^2$.

Можно и дальше упрощать, например, спроецировать контур на плоскость $Oyz$. Интеграл не заметит этого, так как $x$ не входит в $y^2dz$.

Теперь можете находить ротор, раз требуется применять теорему Стокса.

[MestnyBomzh]

svv в сообщении #1001311 писал(а):

На всякий случай уточню: допустим, мы интегрируем не по части цилиндрической поверхности, а по той страшно кривой и несимметричной поверхности, про которую я говорил выше. Ну, от которой требуется только, чтобы она опиралась на контур. Это может быть неудобно, но это допустимо.
Тогда после трюка, который я показал, значение $\nabla\times\vec F$ на такой поверхности не будет иметь ничего общего с первоначальным, но результат по-прежнему будет правильным.

Мы можем задать поверхность как угодно, лишь бы её границей был контур. Поэтому и ротор может быть разным, но ответ то будет одиннаковым, поскольку вектор нормали "подправит" наше выражение так, чтобы ответы совпадали?

svv в сообщении #1001409 писал(а):

меним интеграл по зеленому контуру суммой интегралов по красному контуру и по синему контуру

Нам обязательно нужен замкнутый контур, поскольку Стокс применим только для замкнутых контуров? Я имею в виду, что проще было бы разбить зеленый контур на левый и правый
Теперь по вычислениям:
$\nabla\times \vec{F} = 2y \vec{i}$
$\vec{n} = ({\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},0})$
Значит $\oint_{L} y^2dz = \iint \limits_{S} \left(\frac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right) dS$
а теперь нечетность, так?

[svv]

MestnyBomzh в сообщении #1001544 писал(а):

Мы можем задать поверхность как угодно, лишь бы её границей был контур. Поэтому и ротор может быть разным, но ответ то будет одиннаковым, поскольку вектор нормали "подправит" наше выражение так, чтобы ответы совпадали?

Я очень боюсь Вас запутать, но постараюсь не.
Понимаете, при нахождении циркуляции $\oint_L \vec F\cdot d\vec{l}$ с использованием теоремы Стокса есть две свободы.
Свобода 1. Можно интегрировать ротор $\nabla\times\vec F$ по различным поверхностям $S$, натянутым на контур. Заметьте , что при смене поверхности изменится не только нормаль, но и ротор, просто потому, что на других поверхностях (т.е. в других местах) ротор другой. Кажется, Вы это хорошо понимаете.
Свобода 2. Можно задавать различные векторные поля $\vec F$, с тем лишь условием, чтобы на контуре $L$ они совпадали с заданным по условию. Тогда, беря различные поля, мы будем даже на одной и той же поверхности получать различные роторы. Кажется, Вы это понимаете хуже. В последних сообщениях я говорил о Свободе 2.

MestnyBomzh в сообщении #1001544 писал(а):

Нам обязательно нужен замкнутый контур, поскольку Стокс применим только для замкнутых контуров? Я имею в виду, что проще было бы разбить зеленый контур на левый и правый

Да, верно, нужны замкнутые. К счастью, замкнутый контур всегда можно разбить на несколько замкнутых, потому что на вновь возникшей границе интегрирование идёт в противоположных направлениях (см. картинку), и вклады соседних контуров взаимоуничтожаются.

MestnyBomzh в сообщении #1001544 писал(а):

а теперь нечетность, так?

Нет. У нас контур теперь уже не симметричный. Да и будь он симметричным, — там же был $y|y|$, в совокупности с направлением $dz$ это даёт одинаковые, а не противоположные, значения красного и синего интегралов.
Можно сказать, что $\sqrt{a^2-x^2}=|y|$ как раз и придуман составителями задачи, чтобы не было нечетности. Иначе в ответе получится совсем неинтересный нуль.

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #1001544 писал(а):

Мы можем задать поверхность как угодно, лишь бы её границей был контур. Поэтому и ротор может быть разным, но ответ то будет одиннаковым, поскольку вектор нормали "подправит" наше выражение так, чтобы ответы совпадали?

Но ответ будет одинаковым, потому что поля, обладающие векторным потенциалом, бездивергентны. (Почему?) И значит, интеграл по замкнутой поверхности от такого поля нулевой. (Почему?) А значит, да, интегралы по разным поверхностям с одной и той же границей с согласованной ориентацией совпадают (Почему?).
(Про нужную гладкость где надо я говорить не буду. Вам же до сих пор лень ознакомиться с формулировкой теоремы Стокса, уже несколько дней как лень, а тут еще.)

(Оффтоп)

MestnyBomzh, Вы учебник откроете когда-нибудь, или у Вас семестровая к концу семестра должна быть сдана, подождет? Авось, само доедет?

Я, кстати, сейчас ничего недоступного не написала, Вы это все знать должны и без меня.

[MestnyBomzh]

Про свободу 2: Мне она показалась чем-то обычным. Это же по сути просто тождественные преобразования, не более
Про симметричность я забыл, да. Окей, но тогда нужно как -то задать нашу новую поверхность, чтобы проинтегрировать? Я пока не представляю как. Или лучше спроецировать поверхность?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Мне вот что интересно: вы уже 4-ю стр. "решаете" простую (стандартную) учебную задачу! Вы, что - вшколу в Вуз не ходите? Методичек и учебников принципиально не читаете? Учитесь "по интернету"?
Я могу понять, когда здесь спрашивают о сложных и нестандартных ситуациях, но мусолить 4 (ЧЕТЫРЕ!!!) стр. простую учебную задачу - не перебор ли и не захребетничество ли это?

[MestnyBomzh]

Brukvalub

(Оффтоп)

Можете сюда не заходить, чтобы лишний раз не разочаровываться

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Перед тем, как продолжить, изучите предварительно учебные материалы по теме и разберите решения хотя бы некоторых стандартных задач. Затем приведите содержательные попытки дальнейшего решения задачи,

PAV в сообщении #171140 писал(а):

потому что учить вас предмету с нуля никому не интересно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.