Задача C3

[Atom001]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, найти ошибку в решении.

$\log_{x+2}{(36+16x-x^2)}-\frac{1}{16}\log^2_{x+2}{(x-18)^2}\geqslant 2$
$\log_{x+2}{(x+2)(x-18)}-\frac{1}{16}\log^2_{x+2}{(x-18)^2}\geqslant 2$
$\log_{x+2}{(x+2)}+\log_{x+2}{(x-18)}-\frac{1}{16}\log^2_{x+2}{(x-18)^2}\geqslant 2$
$1+\log_{x+2}{(x-18)}-\frac{1}{4}\log^2_{x+2}{(x-18)}\geqslant 2$
$\frac{1}{4}\log^2_{x+2}{(x-18)}-\log_{x+2}{(x-18)} +1 \leqslant 0$
$D=1-1=0 \Rightarrow \log_{x+2}{(x-18)}\geqslant 2$
Но неравенство справедливо для логарифмов меньших либо равных нуля, тогда остаётся только один вариант $\log_{x+2}{(x-18)}= 2$
$(x+2)^2=x-18$
$x^2+4x+4-x+18=0$
$x^2+3x+22=0$
Получается, что нет $\mathbb{R}$ корней. На самом же деле корень есть (2).

[Otta]

Во второй строке ошибка в знаке при разложении квадратного трехчлена на множители. Как следствие, в частности, изменена область допустимых значений аргумента.

[Atom001]

Otta, спасибо!

[Otta]

Atom001 в сообщении #1001531 писал(а):

$D=1-1=0 \Rightarrow \log_{x+2}{(x-18)}\geqslant 2$

А когда исправите, исправьте эту строку. Решите квадратное неравенство правильно.

[Atom001]

Otta в сообщении #1001539 писал(а):

Решите квадратное неравенство правильно.

А что значит "правильно"?
1) Переходим к функции.
2) Находим её нули.
3) Строем параболу.
4) Указываем промежутки "выше" и "ниже" оси X.

Я вроде бы всё так и делаю, только пишу очень сжато.

[Otta]

Ага, ну вот и постройте. И укажите промежуток, где она - что Вам нужно? выше или ниже нуля? Где?
Можно там у себя построить.

[Atom001]

Ну, ветви параболы идут вверх, ноль всего один - это 2. Мне необходимо всё, что лежит ниже иксовой оси или на ней. Под осью ничего нет, на ней только двойка, вот и выходит, что единственное решение, удовлетворяющее условиям - $\log_{x+2}{18-x}=2$. А там уже два корня: -7 (посторонний) и 2. Вот так как-то.

[Otta]

Atom001 в сообщении #1001542 писал(а):

единственное решение, удовлетворяющее условиям - $\log_{x+2}{(18-x)}=2$

Вот это другое дело. А не больше или равно чего-то там. Ровно одна точка является решением неравенства.

[Atom001]

Ну вот, теперь во всём разобрался. Otta, спасибо!