Формула Стокса

[Otta]

MestnyBomzh
Праально, города берут измором.
А картинку Вас не учили рисовать, решая задачи на формулу Стокса? Ну так, чисто для себя хотя бы? Что за две поверхности там пересекаются? Как выглядит кривая $L$, она же $C$? Какое отношение к ней должна иметь поверхность $S$?

[MestnyBomzh]

Otta
Так я на нее прямо сейчас и смотрю)
Цилиндр и шар. Кривая выглядит немного странно. Эллипс (как проекция на $OYZ$), немного деформированный по $OX$. А поверхность S, как я понимаю, это этот эллипс, включающий область, внутри контура $C$. Собственно, из этой логики я и поставил неравенство в 1-ом уравнении системы

[svv]

Даже в проекции на $Oyz$ эллипс не получится, так, нечто похожее, назовём это овал. А что такое «внутри контура $C$»? Существует ли правило, позволяющее для данной точки определить, находится она внутри контура $C$ или нет?

MestnyBomzh в сообщении #1000220 писал(а):

Собственно, из этой логики я и поставил неравенство в 1-ом уравнении системы

А Вы можете привести (скажем, для $a=1$) пример хоть одной точки $(x,y,z)$ в пространстве, для которой здесь
$ x^2+y^2+z^2 \leqslant 2ax$
будет именно «меньше», а не «равно»?

[Otta]

(Оффтоп)

Нянек одной не бывает.

MestnyBomzh в сообщении #1000220 писал(а):

А поверхность S, как я понимаю, это этот эллипс, включающий область, внутри контура $C$.

Вот дайте я попридираюсь. Эллипс - это все-таки кривая. А поверхность-то какая? Через этот, тсзать "эллипс"?

[MestnyBomzh]

svv в сообщении #1000228 писал(а):

Существует ли правило, позволяющее для данной точки определить, находится она внутри контура $C$ или нет?

есть, та самая система, что я приводил. Возможно, не очень удобное правило, но пока такое:)

svv в сообщении #1000228 писал(а):

$ x^2+y^2+z^2 \leqslant 2ax$
будет именно «меньше», а не «равно»?

конечно, это же сфера с центром в $(1,0,0)$. Сам центр, например, удовлетворяет строгому нер-ву

Otta в сообщении #1000239 писал(а):

А поверхность-то какая? Через этот, тсзать "эллипс"?

Тип её я не знаю. Ну вот, условно говоря, взяли цилиндр. На его боковой стороне построили контур. А область, ограниченная этим контуром, и будет искомая $S$

[svv]

(Otta)

А придирки (в отличие от советов) обычно великолепно стыкуются друг с другом!

-- Сб апр 04, 2015 23:58:12 --

Хорошо. А обязаны ли точки $S$ лежать а) на цилиндре, б) на сфере?
Та точка, что Вы привели, например, на сфере не лежит, хотя лежит на цилиндре.

[MestnyBomzh]

а) на цилиндре да
б) на сфере нет
Как я понимаю, на сфере лежат только граничные точки этой области

[svv]

А отчего такое неравноправие?
Представьте чуть более общую ситуацию: поверхность $\alpha$ пересекается с поверхностью $\beta$ по замкнутой кривой $C$. На $C$ натягивается поверхность $S$ для применения теоремы Стокса. И отчего это $S$ должна быть подмножеством именно $\alpha$, а не $\beta$?

Может, уже догадались, какой правильный ответ?

[MestnyBomzh]

Хотите сказать, что можно и так, и так?

[svv]

Более того. Ещё «хуже».
От $S$ требуется лишь... что?

[MestnyBomzh]

..бы её границей был контур?

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1000426 писал(а):

..бы её границей был контур?

Неужели вы прочли это в учебнике? Или вам, как и большинству вопрошающих на форуме "ваще учебиков не дают и даже ругают, если мы эту гадость в руки берем и к глазам тянем"

[svv]

Да. Да. Да.
И тогда: вот у нас сфера, красивая сфера $\alpha$.
Вот у нас строгий прямой цилиндр $\beta$.
Но мы берём ржавую искорёженную поверхность $S$, натянутую на тот контур $C=\alpha \cap \beta$, и... теорема всё равно выполняется.

Теперь понятно, что поверхность $S$ может выходить далеко за пределы сферы
$(x-a)^2+y^2+z^2=a^2$
Она может пройти хоть через точку с абсциссой $x=$миллион $a$.

И только из вычислительного удобства, возможно, действительно имеет смысл провести $S$ по сфере либо по цилиндру. Сами же эти поверхности в теореме Стокса не участвуют. Только замкнутый контур и натянутая на него поверхность.

[MestnyBomzh]

Brukvalub
А вот и не угадали. просто сделал такое предположение. Кстати, сейчас порылся в учебниках. В Кудрявцеве нашел подтверждение этому факту
svv
Окей, но, как я понимаю, тупо взять цилиндр/сферу не получится, так как контур не ограничивает их.

[Brukvalub]

MestnyBomzh в сообщении #1000452 писал(а):

Brukvalub
А вот и не угадали. просто сделал такое предположение. Кстати, сейчас порылся в учебниках. В Кудрявцеве нашел подтверждение этому факту
..

Зато я "угадал", что вы, как та мадам, "паркуетесь на слух"