Прообраз алгебры и сигма-алгебры

[demolishka]

Есть пространство с мерой $(\Omega,\mathfrak{F},P)$ и измеримая функция на нем $\xi : \Omega \to \mathbb{R}$. Обозначим через $\sigma(\mathfrak{A})$ наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую систему подмножеств $\mathfrak{A}$ и $\xi^{-1}\left(\mathfrak{A}\right) :=\{\xi^{-1}\left(A\right) \ | \ A \in \mathfrak{A}\}.$ Пусть $Cells(\mathbb{R})$ - алгебра ячеек на прямой (всевозможные конечные объединения ячеек $[a;b)$, возможно бесконечной длины). Известно, что $\sigma\left(Cells(\mathbb{R})\right)$ это борелевская $\sigma$-алгебра на прямой. А утверждается следующее:

$$\sigma\left(\xi^{-1}\left(Cells\left(\mathbb{R}\right)\right)\right) = \xi^{-1}\left(\sigma\left(Cells\left(\mathbb{R}\right)\right)\right).$$

Включение $\subset$ очевидно. Непонятно как доказать $\supset$.

[grizzly]

Можно пытаться показать, что как бы мы не получили множество справа (с помощью всяких объединений и пересечений), мы можем аналогичными действиями с прообразами получить его и слева.
Например, привлечь устройство сигма-алгебры борелевских множеств и трансфинитную индукцию.

PS. Но как по мне, такое рассуждение не выглядит красивым :)

[demolishka]

grizzly в сообщении #1043423 писал(а):

привлечь устройство сигма-алгебры борелевских множеств и трансфинитную индукцию.

Ну это было первое о чем я подумал. Видимо придется с этим разбираться.

А утверждение я нашёл в книге по теории вероятностей за авторством Боровкова. Оно возникает при доказательстве критерия независимости случайных величин. Причем, как пишет автор, это должно следовать из того, что $\sigma\left(Cells(\mathbb{R})\right)=\mathfrak{B}$.