2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Прообраз алгебры и сигма-алгебры
Сообщение08.08.2015, 04:05 
Аватара пользователя
Есть пространство с мерой $(\Omega,\mathfrak{F},P)$ и измеримая функция на нем $\xi : \Omega \to \mathbb{R}$. Обозначим через $\sigma(\mathfrak{A})$ наименьшую $\sigma$-алгебру, содержащую систему подмножеств $\mathfrak{A}$ и $\xi^{-1}\left(\mathfrak{A}\right) :=\{\xi^{-1}\left(A\right) \ | \ A \in \mathfrak{A}\}.$ Пусть $Cells(\mathbb{R})$ - алгебра ячеек на прямой (всевозможные конечные объединения ячеек $[a;b)$, возможно бесконечной длины). Известно, что $\sigma\left(Cells(\mathbb{R})\right)$ это борелевская $\sigma$-алгебра на прямой. А утверждается следующее: $$\sigma\left(\xi^{-1}\left(Cells\left(\mathbb{R}\right)\right)\right) = \xi^{-1}\left(\sigma\left(Cells\left(\mathbb{R}\right)\right)\right).$$

Включение $\subset$ очевидно. Непонятно как доказать $\supset$.

 
 
 
 Re: Прообраз алгебры и сигма-алгебры
Сообщение08.08.2015, 12:38 
Аватара пользователя
Можно пытаться показать, что как бы мы не получили множество справа (с помощью всяких объединений и пересечений), мы можем аналогичными действиями с прообразами получить его и слева.
Например, привлечь устройство сигма-алгебры борелевских множеств и трансфинитную индукцию.

PS. Но как по мне, такое рассуждение не выглядит красивым :)

 
 
 
 Re: Прообраз алгебры и сигма-алгебры
Сообщение08.08.2015, 14:17 
Аватара пользователя
grizzly в сообщении #1043423 писал(а):
привлечь устройство сигма-алгебры борелевских множеств и трансфинитную индукцию.

Ну это было первое о чем я подумал. Видимо придется с этим разбираться.

А утверждение я нашёл в книге по теории вероятностей за авторством Боровкова. Оно возникает при доказательстве критерия независимости случайных величин. Причем, как пишет автор, это должно следовать из того, что $\sigma\left(Cells(\mathbb{R})\right)=\mathfrak{B}$.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group