2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 08:01 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
Существует ли пределы следующих вложенных радикалов по всем последовательным простым числам $p$, и как можно найти их значение?

Первичное численное приближение:

$\sqrt{p_{1}+\sqrt{p_{2}-\sqrt{p_{3}+\sqrt{...}}}}\approx 1.62019...$

$\sqrt{p_{1}+\sqrt{p_{2}+\sqrt{p_{3}+\sqrt{...}}}}\approx 2.10359...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 08:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  По правилам раздела Вы должны привести попытки решения :-), относительно сходимости, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 09:31 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Полезно прочитать брошюру:
Вавилов В.В. Итерации радикалов. М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, "Самообразование", 2000.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 09:56 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
nnosipov в сообщении #1042817 писал(а):
Полезно прочитать брошюру:
Вавилов В.В. Итерации радикалов. М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, "Самообразование", 2000.


Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 12:50 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
Любопытное равенство сумм бесконечных нейтральных радикалов, дающее на выходе 5-е простое число
${\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}+{\sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+...}}}}={\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}}++{\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+...}}}}=11
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 12:54 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Ilya G в сообщении #1042798 писал(а):
Существует ли пределы следующих вложенных радикалов по всем последовательным простым числам $p$
$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+....}}}}$ мы знаем, что сходится и чему это равно. Дальше просто
$2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+....}}}}=\sqrt{2^2+\sqrt{2^4+\sqrt{2^8+\sqrt{2^{16}+....}}}}$, т.е. если последовательность имеет асимптотику не более, чем экспоненциальную, то радикал сходится, а $p_n<2^{2^n}$ при $n>n_0$. Все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Sonic86 в сообщении #1042860 писал(а):
$p_n<2^n$

Можете пояснить почему? Я как-то не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 13:19 


14/01/11
3065
kp9r4d в сообщении #1042864 писал(а):
Можете пояснить почему?

Да хотя бы потому, что $p_{n+1}<2p_n.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 13:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
kp9r4d в сообщении #1042864 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1042860 писал(а):
$p_n<2^n$

Можете пояснить почему? Я как-то не придумал.
Я не точно написал. Достаточно $p_n<2^n$ для $n>n_0$
И еще я ошибся: там не $2^n$, а $2^{2^n}$.
Пост поправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 13:35 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
Sonic86

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение05.08.2015, 18:09 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Новый вопрос отделён в новую тему

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение06.08.2015, 19:59 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
Рабочая гипотеза:

$\sqrt{p_{1}+\sqrt{p_{2}+\sqrt{p_{3}+\sqrt{...}}}}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{100}{2^{n}(55n-25)}=2.10361294...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение06.08.2015, 20:20 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Это неверно

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение06.08.2015, 20:44 
Аватара пользователя


29/06/15
65
Тула
У кого-нибудь есть мысли в каком направлении двигаться, от чего оттолкнуться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы вложенных радикалов по простым числам
Сообщение06.08.2015, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4855
Не факт, что аналитическое выражение вообще существует.
Быть может, единственный способ записи этого числа - это как раз через радикалы, а других формул для него нет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group