Обобщение неравенства Мюрхеда

cool.phenon · 12/05/12 604 Оттуда

Всем известно неравенство Мюрхеда для сумм всех перестановок неотрицательных одночленов $x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}...x_n^{\alpha_n}$ : если наборы степеней такие, что $(\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n) \succeq (\beta_1,\beta_2...\beta_n)$ , то

$\sum\limits_{sym}x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}...x_n^{\alpha_n}\ge \sum\limits_{sym}x_1^{\beta_1}x_2^{\beta_2}...x_n^{\beta_n}, \quad x=(x_1,x_2...x_n)\in \Omega$

Теперь предположим, что наборы $(\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n)$ и $(\beta_1,\beta_2...\beta_n)$ зависимы от некоторого параметра $t\in D$ . Тогда если сохранять условие мажорируемости для наборов так, что

$(\alpha_1(t),\alpha_2(t)...\alpha_n(t)) \succeq (\beta_1(t),\beta_2(t)...\beta_n(t)),$

то $\forall t\in D$

$\sum\limits_{sym}x_1^{\alpha_1(t)}x_2^{\alpha_2(t)}...x_n^{\alpha_n(t)}\ge \sum\limits_{sym}x_1^{\beta_1(t)}x_2^{\beta_2(t)}...x_n^{\beta_n(t)}$

Формально для каждого своего $t\in D$ неравенство верно. Но давайте теперь предположим, что $D=\Omega$ . Верно ли тогда, что

$\sum\limits_{sym}x_1^{\alpha_1(x_1...x_n)}x_2^{\alpha_2(x_1...xn)}...x_n^{\alpha_n(x_1...x_n)}\ge \sum\limits_{sym}x_1^{\beta_1(x_1...x_n)}x_2^{\beta_2(x_1...x_n)}...x_n^{\beta_n(x_1...x_n)}, \quad x=(x_1,x_2...x_n)\in \Omega?$