Для любого простого сущ. элемент, добавляющий до простого

[fractalon]

Рассматриваются ли наукой такие множества $A$, что $\forall p \in {\mathbb P}: \exists a \in A: p+a \in {\mathbb P}$?
У меня вот возникло предположение (просто взбрело в голову), что множество квадратов является таким. Проверил на компьютере, получил, что если $\tau(p)$ - минимальное $a$ такое, что $p+a^2$ - простое, то $\max \limits_{p \le 10^7} {\tau(p)} = 624$, что, кажется, достаточно мало.
Теорема Дирихле указывает, что множество чисел, кратных некоторому, подходит сюда. Интересно было бы узнать про такие множества с нулевой асимптотической плотностью, и вообще, с как можно меньшей асимптотически функцией распределения. Ясно, что конечным оно быть не может, но насколько маленьким?

[venco]

Факториалы, или даже праймориалы?

[ex-math]

(Оффтоп)

fractalon
Кстати, я выложил для Вас доказательство теоремы о среднем в той Вашей теме про неравенство.

[venco]

Праймориалов хватает для простых до $10^8$.
Худший случай: $25852909 + 4760\#$

[fractalon]

ex-math в сообщении #1042481 писал(а):

(Оффтоп)

fractalon
Кстати, я выложил для Вас доказательство теоремы о среднем в той Вашей теме про неравенство.

(Оффтоп)

Большое спасибо за ваш разбор! Простите, что с таким опозданием. Вы очень помогли мне.

[grizzly]

fractalon в сообщении #1042465 писал(а):

Рассматриваются ли наукой такие множества $A$, что $\forall p \in {\mathbb P}: \exists a \in A: p+a \in {\mathbb P}$?

Что-то очень похожее рассматривается. Здесь попалась такое утверждение:

Цитата:

More recently, in the late 1970's, Sarkozy proved the following combinatorial result: if a subset $A\subset \mathbb Z$ has positive upper density (the upper density is defined by $\displaystyle\overline d(A):=\limsup_{n\to \infty} \dfrac1n\big|A\cap[1,n]\big|$) then there is some ${n\in {\mathbb Z}}$ and ${a\in A}$ such that ${a+n^2\in A}$.

Но множество простых чисел не имеет положительной плотности, так что для них я пока не знаю, доказано соответствующее утверждение или нет.