неравенство

[rightways]

$x,y,z-$ положительные числа и $xyz=1$.
Доказать что

$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}+x+4y+yz+2zx\ge x^2+ 2y^2+2z+4$

[rightways]

Возможно и это верно

$x,y,z-$ положительные числа и
$xyz=1$.
тогда

$\frac{x^2+y^2+z^2}{3}+x+4y+yz+2zx\ge x^2+ 2y^2+2z+4$

[iancaple]

rightways в сообщении #1042392 писал(а):

Возможно и это верно

$x,y,z-$ положительные числа и
$xyz=1$.
тогда

$\frac{x^2+y^2+z^2}{3}+x+4y+yz+2zx\ge x^2+ 2y^2+2z+4$

А вот это нет
$y=1000,x<1,z<1$

[rightways]

подсказка

$a^3+b^3+c^3 \ge 3abc $ тогда и только тогда когда $a+b+c \ge 0$

[rightways]

решение:
неравенство выходит из этого неравенства

$(x-\frac{3}{2})^3+(y-1)^3+(z-\frac{1}{2})^3 \ge 3(x-\frac{3}{2})(y-1)(z-\frac{1}{2})$

[rightways]

Докажите, что

$$(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2+a(y+z)+b(z+x)+c(x+y) \ge ab+bc+ca+xy+yz+zx$$

[arqady]

Это же квадратный трёхчлен. Просто проверить, что $\Delta\leq0$ и это оказывается правдой!

-- Пн авг 10, 2015 17:51:11 --

Вот так проще:
$(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2+a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)-$
$-(ab+bc+ca+xy+yz+zx)=$
$=(a-b-x+y)^2+(a-c-x+z)^2+(b-c-y+z)^2\geq0$.