2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3  След.
 
 три диска
Сообщение03.08.2015, 09:49 


10/02/11
6786
Три однородных диска раиусами $R,r,\rho$ и массами $M,m,\mu$ соответственно поставлены на горизонтальную плоскость так как показано на рисунке

Изображение

Проскальзывание между любыми двумя дисками и между дисками и плоскостью невозможно. Описать качественно дальнейшее движение системы, если известно, что в начальный момент времени скорости всех точек равны нулю. Упадет ли диск $R$ на пол?

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение04.08.2015, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ехал с дачи, делать было нечего. Вспомнил эту задачу. По-моему, она решается без единой формулы. Повернем мысленно колесо $R$. По колесам $r$ и $\rho$ "прокатятся одинаковые длины дуг колеса $R$" (надеюсь, понятно, что хотел сказать) тогда колеса $r$ и $\rho$ сдвинутся на одинаковое расстояние, и $a$ оказывается неизменным. Специально не проверял на бумажке. Интересно, соврал или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение04.08.2015, 00:21 


10/02/11
6786
не, не соврали :D

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение05.08.2015, 19:38 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Ну да, если $R$ вращается с угл. скоростью $\omega$, то в СО, связанной с центром диска $R$, скорости нижних точек двух нижних дисков одинаковы и равны $v= - R\omega$.
И, значит, система находится в безразличном равновесии. Красиво.
И мало того, $a=\operatorname{const}$, если заменить плоскость на большую окружность, с выпуклостью любого знака.

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение05.08.2015, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
amon в сообщении #1042524 писал(а):
Повернем мысленно колесо $R$.

Можете сказать, как именно нужно повернуть? Не очень понятно

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение05.08.2015, 21:45 
Заслуженный участник


06/07/11
5627
кран.набрать.грамота
kp9r4d в сообщении #1042938 писал(а):
amon в сообщении #1042524 писал(а):
Повернем мысленно колесо $R$.
Можете сказать, как именно нужно повернуть? Не очень понятно
Вокруг оси, как же еще. Если вы про направление, то направление может быть любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 02:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
kp9r4d в сообщении #1042938 писал(а):
Можете сказать, как именно нужно повернуть?
Я сидел за рулем автомобиля и представил, что руль - это колесо $R$, к нему присобачены два других колесика. После этого как-то мгновенно сообразилось, куда и как поедет эта конструкция при повороте руля.

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
amon
А можно услышать доказательство, что это единственная степень свободы системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1043027 писал(а):
А можно услышать доказательство, что это единственная степень свободы системы?
Вообще-то то, что я подсунул, не решение, а правдоподобные рассуждения, из которых настоящее решение еще извлекать надо. Аналогичное (не строгое) рассуждение про число степеней свободы такое. Взаимное положение дисков фиксируется условием того, что они касаются друг друга и величиной $a$ (треугольник задается тремя сторонами). Кроме того, есть еще положение центра масс, оно же (по условиям связи без проскальзывания) - угол поворота любого диска. Так что у задачи со связями две степени свободы. При этом $a$ из чистой кинематики оказывается "интегралом движения". Хорошая задачка для разминания затекших мозгов - знать ничего не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
amon в сообщении #1043096 писал(а):
При этом $a$ из чистой кинематики оказывается "интегралом движения".

Вот я бы хотел это услышать.

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
amon
Я понял Ваше качественное описание так, что данная система со старта тут же выйдет из равновесия и придёт в движение, но при этом большой диск не свалится на пол? Мне почему-то сложно такое представить. Я могу себе представить движение в этой системе только в том случае, если один из нижних углов треугольника тупой. Но тогда как раз верхний диск свалится на пол.
Если же в ситуации как на картинке система не придёт в движение (и таковым будет качественное описание её поведения), тогда непроваливаемость верхнего диска должна следовать и без рассуждений о его (несуществующем) вращении.
Это чисто интуитивные представления, но если я ошибаюсь, я очень хотел бы подлечить свою интуицию.

И ещё вопрос.
Подскажите мне, пожалуйста, можно ли в этой и подобных задачах условие про невозможность проскальзывания условно представлять себе как наличие некой зубчатой передачи между элементами конструкции? Или это неравносильные условия?

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
grizzly в сообщении #1043105 писал(а):
можно ли в этой и подобных задачах условие про невозможность проскальзывания условно представлять себе как наличие некой зубчатой передачи
Это хорошая мысль. С ее помощью, глядишь, и на это:
Munin в сообщении #1043100 писал(а):
Вот я бы хотел это услышать.
можно почти строго ответить. Мы исследуем устойчивость системы, т.е. смотрим где минимум ее энергии и не хочет ли система в этот минимум свалиться. Два нижних колеса ни на что не влияют, и все, что система может сделать - "опустить" верхнее колесо. Для этого нижним колесам надо разъехаться в стороны. Пусть на колесах зубцы, и на горизонтальной "рейке" тоже. Предположим, что левое нижнее колесо ($r$) съехало вправо "на три зуба", повернувшись по часовой стрелке. Колесо $R$ обязано повернуться на три зуба против часовой, но тогда оно повернет колесо $\rho$ на те же три зуба по часовой - деваться ему некуда. Значит колеса $r$ и $\rho$ сдвинутся вправо на одинаковое расстояние, значит расстояние $a$ не поменяется, т.е., как бы мы колеса не крутили "кинематика зацеплений" не позволит изменить это расстояние. Значит система находится в безразличном равновесии. Если в начальный момент колеса не крутились, то они и не будут крутиться, если крутились - поедут себе куда глаза глядят, но колесо $R$ расстояние до поверхности не поменяет никогда. Если позволить дискам проскальзывать, то все станет существенно сложнее, и, боюсь, на пальцах уже не решится.
grizzly в сообщении #1043105 писал(а):
Если же в ситуации как на картинке система не придёт в движение тогда непроваливаемость верхнего диска должна следовать и без рассуждений о его вращении.
Если бы диск $R$ мог проваливаться, то система могла бы сама поехать за счет "перегонки потенциальной энергии в кинетическую".

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 18:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
amon в сообщении #1043120 писал(а):
Колесо $R$ обязано повернуться на три зуба против часовой, но тогда оно повернет колесо $\rho$ на те же три зуба по часовой - деваться ему некуда.

Не считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1043121 писал(а):
Не считается.
Можно уравнения связей разрешать, все получится, но тогда пропадет красота пальцевого решения. А чем Вам рассуждение с зубцами не нравится?

 Профиль  
                  
 
 Re: три диска
Сообщение06.08.2015, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Oleg Zubelevich в сообщении #1042331 писал(а):
Три однородных диска раиусами $R,r,\rho$ и массами $M,m,\mu$
Если бы (при тех же прочих условиях) колёса были одинаковой массы или неоднородными, задача решалась бы по-другому?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group