Числовой ряд с гипергеометрической функцей: сумма ?

[Divergence]

Не знаю даже как подступиться, чтобы найтить

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} \, _1F_2 \Bigl(\frac{a}{2}+1; \frac{1}{2},\frac{a}{2}+2;- \frac{\pi^2 \, k^2}{4} \Bigr) \, _1F_2 \Bigl(\frac{b}{2}+1; \frac{1}{2},\frac{b}{2}+2;- \frac{\pi^2 \, (k-n)^2}{4} \Bigr) = ? $$

где $_1F_2$ - обобщенная гипергеометрическая функция и $n\in \mathbb{Z}$.

Предполагаю, что ответ будет в таком виде

$$ \frac{(a+2) \, (b+2)}{a+b+2} \, _1F_2 \Bigl(\frac{a+b}{2}+1; \frac{1}{2},\frac{a+b}{2}+2;- \frac{\pi^2 \, n^2}{4} \Bigr) , $$

но как проверить, что он правильный не знаю.

В книге "Интегралы и ряды. Том 3. Специальные функции. Дополнительные главы." Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. (2003)
ничего не нашел, хотя есть Раздел 6.8 но похожих сумм там нет.
Подскажите ссылки пожалуйста, если кто видел нечто подобное.

[sergei1961]

Есть формула перемножения двух произвольных гипергеометрических функций в виде ряда. Можно попробовать применить, упростить и поиграться с перестановкой суммирований. Если подозреваете, что результат должен быть несложным и явным, то может получится.

Формула для произведения двух F12 есть на сайте Вольфрама в разделе про эту функцию, можно скачать достаточно большой pdf с формулами, нужная формула в конце.

[Divergence]

Спасибо за информацию. Однако я ничего не нашел. Только
http://mathworld.wolfram.com/Generalize ... ction.html
Книги, приведенные там в списке литературы, раньше смотрел.
Похожих сумм и произведений не нашел.
Много информации там о $_2F_1$, а не о $_1F_2$.

А можно явную ссылку? Там произведение $_1F_2$?

[Otta]

Ну там такие формулы, что в сравнении с ручным перемножением соотв. рядов, они вряд ли более полезны. http://functions.wolfram.com/Hypergeome ... metric1F2/ - это весь раздел
Про произведения здесь: http://functions.wolfram.com/Hypergeome ... ric1F2/16/ но см. выше. :)

Не думаю, что это тот путь, по которому надо идти.

Что замечается. Что если написать значения функций, то много чего сократится. Больше пока не замечается ничего.

[Divergence]

Спасибо за явные ссылки.
Однако воспользоваться ими мне явно не под силу.
Хотя во второй формуле что-то есть
http://functions.wolfram.com/Hypergeome ... 1/01/0002/
но как это съесть?
Ведь эта формула просто явная запись определения функций с переобозначением параметра.

[Otta]

Если Вы явно перемножите два соответствующих функциям ряда, то именно это и получите. Обычное произведение рядов. Ничего в этом нет. Лучше упростите их сперва, может, вылезет что-то более привлекательное.

[Divergence]

Да я уже это понял.

[Otta]

Вообще, запись странная. Ограничений на $a$ и $b$ точно нет? Зачем там эти пополамы?

[Divergence]

Да пополамы можно убрать. Формула будет красивее.

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} _1F_2 \Bigl(a+1; a+2, \frac{1}{2};- \frac{\pi^2 \, k^2}{4} \Bigr) \, _1F_2 \Bigl(b+1; b+2 , \frac{1}{2};- \frac{\pi^2 \, (k-n)^2}{4} \Bigr) = $$ $$ = \frac{(a+1) \, (b+1)}{a+b+1} \, _1F_2 \Bigl(a+b+1; a+b+2, \frac{1}{2};- \frac{\pi^2 \, n^2}{4} \Bigr) \quad ?$$

[Otta]

Вопрос-то не в этом. Если задача с пополамами из, например, задачника, то скорее всего, есть какие-то ограничения. Целочисленность, например. Если задача своя, то вероятнее, всего, она не придумалась в таком виде, а взялась откуда-то еще, в процессе решения другой задачи. И тогда исходная задача может оказаться более полезной для решения, чем эта.

ЗЫ Здорово Вы это в уме умеете произведения гипергеометрических функций суммировать. :)

[Divergence]

Нет, задача не из задачника. Ограничения есть $a>0$, $b>0$.
Задача своя.

Это не просто произведение, а дискретная свертка.
А в уме произведения (точнее свертки) гипергеометрических функций "суммирую" следующим образов:

$$ k^a \, k^b = k^{a+b} \quad (1),$$

зная, что

$$ \frac{1}{\pi} \int^{\pi}_0 k^a \, \cos(n \, k) \, dk = \frac{\pi^{a}}{a+1} \, _1F_2 \Bigl(\frac{a+1}{2}; \frac{1}{2},\frac{a+3}{2};-\frac{\pi^2\, n^2}{4} \Bigr) , \quad (a >0) \quad (2). $$

Кстати дроби отсюда.
Как выстроить математически строгое обоснование того, что из (1) и (2) следует приведенная дискретная свертка не знаю.
Неужто достаточно приведенных рассуждений ? (Поэтому хотелось вывести в лоб, без использования Фурье)
Неужто мое доказательство математически безупречно и нет тут подвоха? Уж больно оно простое.
Например: А приведенные гипергеометрические функции принадлежат $l_p$ ($p \ge2$)?
У меня похожая проблема с функциями: topic99866.html

[Divergence]

Извиняюсь за не аккуратность (потерял справа 1/2). Тождество такое

$$ \sum^{+\infty}_{k=-\infty} _1F_2 \Bigl(a+1; a+2, \frac{1}{2};- \frac{\pi^2 \, k^2}{4} \Bigr) \, _1F_2 \Bigl(b+1; b+2 , \frac{1}{2};- \frac{\pi^2 \, (k-n)^2}{4} \Bigr) = $$ $$ = \frac{2 \б (a+1) \, (b+1)}{a+b+3/2} \, _1F_2 \Bigl(a+b+\frac{3}{2}; a+b+\frac{5}{2}, \frac{1}{2};- \frac{\pi^2 \, n^2}{4} \Bigr) $$

где

$$ a+1>0, \quad b+1>0, \quad a+b+3/2>0.$$