Определение тензора через тензорное произведение

[Viktor92]

Доброе время суток.Помогите разобраться с сутью вопроса, а то в разной литературе по-разному формулируют тензорное произведение, мне более понравился такой вариант:
Введём k-ую декартову степень декартового произведение линейных пространств $L_{mn}=(L_n\times L_m)^k$, его элементы упорядоченные наборы пар векторов $A=a_ib^i$ $i=1,2,...,k$. Пусть на множестве $L_{mn}$ задано отношение эквивалентности такое, что элемент $A\sim B$ если выполнено хотя бы одно из условий:
1). Элементы $A$ и $B$ состоят из одних и тех же пар векторов, возможно упорядоченных произвольным образом
2). Элемент $A$ может быть получен из $B$ умножением на число $s$
3). В элементах $A$ и $B$ все пары и их порядок расположения совпадают, кроме тех, у которых один из векторов $0$
Введённое отношение эквивалентности разбивает множество $L_{mn}$ на классы эквивалентности, которые образую фактор-пространство $[L_{mn}]$
Тензорное произведение линейных пространств $L_n\otimes L_m$ есть фактор-пространство $[L_{mn}]$, элементы тензорного произведения суть классы эквивалентности введённые в соответствии с отношениями эквивалентности 1-3 есть тензоры. Вот тут возникает первый вопрос,например получаются следующие элементы будут определять один и тот же класс, т.е. один и тот же тензор: $a_1b^1+a_2b^2+a_3b^3$ и $a_2b^2+a_3b^3+a_1b^1$ и $sa_1b^1+sa_3b^3+sa_2b^2$ и $a_10+a_2b^2+0b^3$?
Теперь рассмотрим базисные диады, которые в одном из моих источников вводятся так $e_j\otimesh_k=[e_i(\delta_j^kh_k)]$ В квадратных скобках с учётом определений выше каждая диада принадлежит разным классам.
Распишем их например для такого произведения $(L_2 \times L_3)^2$
$A_{1k}=e_1h_k+e_20$ и $A_{2k}=e_10+e_2h_k$. В другой литературе за базисные диады, насколько я понял, принимают просто всевозможные пары базисных векторов из $L_m$ и $L_n$. Если в предыдущих выражениях считать пары с нулём равными нулю, то мы и получим всевозможные такие комбинации. Поэтому второй вопрос какое определение диад считать верным, т.е. что есть тензорное произведение базисов $e_i \otimes h_k$?

[Xaositect]

Странное определение, это где такое используется? Оно неправильное как минимум потому что такая эквивалентность не согласована с линейной структурой.

Чтобы получилось правильно, надо второй пункт сформулировать правильно, как-то так: пары $B$ получаются из пар $A$ с помощью преобразования $(a, b)\mapsto (sa, s^{-1}b)$ для некоторого ненулевого скаляра $s$. И не забыть, что $k\geqslant \min(m,n)$.

[Viktor92]

Определение такое используется в книге Ю.И.Димитриенко "Тензорное исчисление" , может определение не строгое с математической точки зрения (книга для физиков), но я только от туда более менее понял , что такое тензорное произведение.Извиняюсь за 2-ой пункт - это я его недопонял и неправильно написал, хотя почему вводится именно такое отображение $(a, b)\mapsto (sa, s^{-1}b)$ что второй элемент умножается на обратное число не понятно, и ограничение то что $k=min(m,n)$ то же не очевидно, мне казалась, что вполне можно записать упорядоченные пары для любого $k$, а потом разложить всё это по базисным диадам и получатся коэффициенты тензора.

[Xaositect]

Я что-то не подумал, а определение ведь совсем неправильное в том смысле, что сложение в исходном пространстве $(L_m\times L_n)^k$ не имеет никакого отношения к сложению тензоров. Сложение тензоров это у Вас будет конкатенация последовательностей.