Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши

[Teletranslator]

Колмогоров, Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, стр. 78 и далее, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Возьмём, например, функцию

$$f(x,y)=3y^{2/3}$$

и начальное условие

$$y(0)=0$$

. Такая функция, очевидно, укладывается в предложенные ограничения.

Предположим, совершенно невзначай, что функция

$$y=x^3$$

является решением такой задачи Коши. В самом деле:
1)

$$y'=3x^{2}$$

2)

$$x=y^{1/3}$$

Подстановка (2) в (1) даёт

$$y'=3y^{2/3}$$

.

В целях эксперимента возьмём, например,

$$\varphi_0(x)=0$$

. Первый шаг последовательного приближения:

$$\psi(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^{x}f(t,\varphi(t))\mathrm{d}t=0$$

. Неподвижная точка найдена, она оказывается вторым единственным решеним данной задачи Коши.

_______________

Сколь непоколебимого мнения о своём уме я ни был бы, я не могу в первую очередь предположить, что в учебнике, по которому учат тысячи преподавателей, содержится такая ужасная ошибка.

Эти ужасные сомнения начали стремительно развиваться после мысли о неаналитических функциях. У меня есть примеры того, как можно покрыть любую сколь угодно большую часть координатной плоскости решениями выбранной задачи Коши.

Но ответьте мне, молю вас, в чём же я ошибаюсь, если, используя одни лишь аналитические функции, я получаю два решения вместо одного?



Я, например, думаю, что ошибка содержится в утверждении (7) из страницы 79: такое интегральное уравнение даёт ровно одно из решений задачи Коши, и эквивалентности быть не может.

[Xaositect]

Функция $y^{2/3}$ не липшицева.

[Teletranslator]

Xaositect, спасибо, буду долго думать.